2012-湖南卷文-17 解-统计表与概率估计

本题导读

本题考查频数分布表。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 $100$ 位顾客的相关数据，如下表所示.

| 一次购物量 | $1$ 至 $4$ 件 | $5$ 至 $8$ 件 | $9$ 至 $12$ 件 | $13$ 至 $16$ 件 | $17$ 件及以上 | | 顾客数（人） | $x$ | $30$ | $25$ | $y$ | $10$ | | 结算时间（分钟/人） | $1$ | $1.5$ | $2$ | $2.5$ | $3$ |

已知这 $100$ 位顾客中一次购物量超过 $8$ 件的顾客占 $55\%$.

(1)确定 $x$，$y$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 $2$ 分钟的概率.（将频率视为概率）

🔍【思路分析】

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超过 $8$ 件的占 $55\%$ 得 $y=20$、$x=15$；平均结算时间 $1.9$ 分钟；不超过 $2$ 分钟的概率为 $\frac{7}{10}$。

✅【答案】

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(1)$x=15$，$y=20$；平均结算时间约为 $1.9$ 分钟.(2)$\frac{7}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）一次购物量超过 $8$ 件的顾客对应后三列，人数为 $25+y+10$，占比 $55\%$，故 $25+y+10=100\times 0.55=55$，解得 $y=20$；进而 $x=100-30-25-20-10=15$。

平均结算时间按人数加权：

$\bar{t}=\frac{15\times 1+30\times 1.5+25\times 2+20\times 2.5+10\times 3}{100}=\frac{15+45+50+50+30}{100}=\frac{190}{100}=1.9$（分钟）.

（2）结算时间不超过 $2$ 分钟的顾客对应前三列，人数为 $15+30+25=70$，将频率视为概率，所求概率为 $\frac{70}{100}=\frac{7}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由占比列频数方程；加权平均数；频率与概率的关系

核心方法：统计表格题先由已知占比补全频数，再按”频数 × 组值”加权平均

避坑指南：加权平均时分母是总人数 $100$，别按 $5$ 列平均；“不超过 $2$ 分钟”包含 $2$ 分钟这一列（$25$ 人），漏掉会得 $\frac{45}{100}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计与概率综合解答题，与 2013 年广东卷文第 17 题、2013 年天津卷文第 15 题同族。

结论推广：加权平均 $\bar{t}=\frac{1}{N}\sum n_i{t}_i$；各组占比之和为 $1$ 是补全频数的常用方程。

方法推广：统计解答题第一步永远是”把表格补完整”，缺口往往就是第 (1) 问的入口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型
• 2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计
• 2013-安徽卷文-17 解-茎叶图与平均数