2012-湖南卷理-11 填-切线

本题导读

本题考查圆的割线定理，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 如图 2，过点 $P$ 的直线与 $\odot O$ 相交于 $A,B$ 两点. 若 $PA=1,AB=2,PO=3$，则 $\odot O$ 的半径等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为已知割线顺次相交于 $A,B$ 两点，所以根据圆的割线定理满足 $PA\cdot PB$ 为定值。
2. 因为已知 $PA=1,AB=2$，所以全长 $PB=PA+AB=3$，可求出乘积定值。
3. 因为已知 $PO=3$，设半径为 $r$，通过圆心的割线与圆周交点到 $P$ 的距离分别为 $PO-r$ 和 $PO+r$，联立割线定理方程即可求解 $r$。

✅【答案】

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$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $PA=1,AB=2$， 所以 $PB=PA+AB=1+2=3$。

设 $\odot O$ 的半径为 $r(r>0)$。 因为直线 $PO$ 为过圆心的割线，其与 $\odot O$ 相交两点到点 $P$ 的距离分别为 $PO-r$ 和 $PO+r$。

因为根据圆的割线定理满足： $PA\cdot PB=(PO-r)\cdot (PO+r)$

将 $PA=1,PB=3,PO=3$ 代入上式： $1\times 3=(3-r)(3+r)$ $3=9-r^2$ $r^2=6$

因为 $r>0$， 所以 $r=\sqrt{6}$。

故答案为：$\sqrt{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆幂定理（割线定理）的代数表达、过圆心几何割线的半径表达转换。
2. 核心方法：圆幂定理消元法。处理圆外动线段几何题时，利用点 $P$ 的圆幂（ $PA\cdot PB=|P{O}^2-r^2|$ ）作为一个刚性几何守恒量进行桥梁转换。
3. 避坑指南：

• 因为割线定理公式中乘积项是 $PA\cdot PB$，所以不能错写成 $PA\cdot AB$。
• 因为 $r^2=6$，所以开方结果必须带有根号，注意不要错写成 $6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-1《几何证明选讲》中关于圆周角与圆幂定理章节的经典课后复习基础填空题。
2. 结论推广：

• 圆外点幂守恒半径快速模型：在平面几何空间中，已知圆外任意定点 $P$ 到圆心的距离为 $d$，引出一条割线顺次复交圆于 $A,B$ 两点。因为根据圆幂定理的统一几何表达满足高度刚性的绝对守恒，所以圆的半径 $r$ 满足如下严格统一的推广快捷通式： $r\equiv \sqrt{d^2-PA\cdot PB}$
• 因为本题中 $d=PO=3$ 且 $PA\cdot PB=1\times 3=3$，代入该推广模型可直接求得： $r=\sqrt{3^2-3}=\sqrt{6}$
• 利用此模型可以快速验证最终答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系 类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理

• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理