2012-福建卷文-07 单-直线与圆弦长

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及弦长计算。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 直线 $x+\sqrt{3}y-2=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交于 $A$，$B$ 两点，则弦 $AB$ 的长度等于()

A. $2\sqrt{5}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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圆心距 $d=1$，半弦长 $=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，弦长 $2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心 $O(0,0)$，半径 $r=2$。

圆心到直线的距离 $d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{2}{2}=1$。

由垂径定理，半弦长 $=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，故 $|AB|=2\sqrt{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；圆的弦长（垂径定理）

核心方法：$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 三步走：求 $r$、求 $d$、勾股

避坑指南：分母是 $A^2+B^2$ 的算术平方根，这里 $\sqrt{1+3}=2$ 别算成 $\sqrt{3}$；弦长是 $2\sqrt{3}$，别只算半弦。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆弦长题，与 2024 年甲卷理第 12 题、2025 年天津卷第 12 题同族。

结论推广：$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中 $d$ 为圆心到直线的距离。

方法推广：圆的弦长问题一律走”圆心距 + 半径 + 勾股”的几何路线，避免联立方程硬算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2024-甲卷理-12 单-直线与圆相交弦长
• 2025-天津卷-12 填-直线与圆相交弦长
• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦