2012-辽宁卷文-08 单-导数求单调区间

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调区间，以及对数型函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\ln x$ 的单调递减区间为()

A. $(-1,1]$　　　　B. $(0,1]$　　　　C. $[1,+\infty )$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

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定义域 $(0,+\infty )$；$y^{\prime }=x-\frac{1}{x}<0⟺x^2<1⟺0<x<1$，故递减区间为 $(0,1]$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $(0,+\infty )$（含 $\ln x$，必须 $x>0$）。

$y^{\prime }=x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}$。

在 $x>0$ 上，$y^{\prime }<0⟺x^2-1<0⟺0<x<1$。

且 $y^{\prime }(1)=0$，函数在 $(0,1]$ 上单调递减（单调区间可包含导数为零的端点）。

故递减区间为 $(0,1]$，选 B。

（（A）中 $x<0$ 不在定义域内，直接排除。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型函数的定义域；导数符号与单调区间

核心方法：先限定 $x>0$，解 $y^{\prime }<0$ 的解集并与定义域取交

避坑指南：含 $\ln x$ 的函数求单调区间必须先写定义域 $x>0$：（A）$(-1,1]$ 越出定义域，是最典型的错误选项；区间端点 $1$ 处导数为零，写成 $(0,1]$ 合理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数求单调区间选择题，与 2013 年大纲卷理第 9 题、2013 年新课标Ⅰ文第 20 题的知识背景同族。

结论推广：$y=\frac{1}{2}{x}^2-\ln x$ 的极小值点为 $x=1$；一般地，$y^{\prime }=\frac{x^2-1}{x}$ 在 $x>0$ 上符号由 $x^2-1$ 决定。

方法推广：求单调区间三步：定义域 → 解 $y^{\prime }>0$ 或 $y^{\prime }<0$ → 与定义域取交，最后核对选项端点开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-09 单-导数单调性
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值
• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立