2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及弦长计算。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设 $A$，$B$ 为直线 $y=x$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 的两个交点，则 $|AB|=$()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

直线 $y=x$ 过圆心，截圆的弦即直径，$|AB|=2r=2$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=1$。

圆心 $(0,0)$ 满足 $y=x$，故直线过圆心，弦 $AB$ 为直径。

所以 $|AB|=2r=2$，选 D。

（也可联立：$2x^2=1$，$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，两交点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 与 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，距离为 $2$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线过圆心时弦为直径；弦长与半径的关系

核心方法：先判”直线是否过圆心”再算弦长：过圆心则弦长 $=2r$，不过圆心则用 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$

避坑指南：不假思索就联立方程虽然也能做对，但容易在开方与坐标运算上出错；先看圆心是否在直线上能省一半计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相交弦长题，与 2012 年北京卷文第 9 题、2012 年福建卷文第 7 题同族。

结论推广：一般地，直线 $l$ 与圆 $O(r)$ 相交时，弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$（$d$ 为圆心到直线的距离）；$d=0$ 时退化为直径。

方法推广：圆中弦长问题优先走”圆心距 + 半弦长构成直角三角形”这条路，比联立方程 + 韦达定理更稳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长
• 2012-福建卷文-07 单-直线与圆弦长
• 2012-广东卷文-08 单-直线与圆弦长