2012-重庆卷文-05 单-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查两角和与差的三角公式，以及三角恒等变换求值。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） $\frac{\sin 47^{\circ }-\sin 17^{\circ }\cos 30^{\circ }}{\cos 17^{\circ }}=$()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

$47^{\circ }=30^{\circ }+17^{\circ }$，用正弦和角公式展开后，$\sin 17^{\circ }\cos 30^{\circ }$ 恰好被消去。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 47^{\circ }=\sin (30^{\circ }+17^{\circ })=\sin 30^{\circ }\cos 17^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 17^{\circ }$。

代入分子：$\sin 30^{\circ }\cos 17^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 17^{\circ }-\sin 17^{\circ }\cos 30^{\circ }=\sin 30^{\circ }\cos 17^{\circ }$。

原式 $=\frac{\sin 30^{\circ }\cos 17^{\circ }}{\cos 17^{\circ }}=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正弦公式；特殊角的三角函数值

核心方法：观察角之间的和差关系（$47^{\circ }-17^{\circ }=30^{\circ }$），用和角公式制造可相消的项

避坑指南：拆角时把 $47^{\circ }$ 写成 $30^{\circ }+17^{\circ }$，公式里”余弦乘余弦”那项才是要消去的；写成 $45^{\circ }+2^{\circ }$ 之类则无路可走。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：给值求值型三角恒等变换题，与 2013 年湖南卷文第 16 题、2014 年新课标Ⅰ理第 8 题同族。

结论推广：凡分子含 $\sin \alpha -\sin \beta \cos \gamma$ 型且 $\alpha -\beta$（或 $\alpha -\gamma$）为特殊角，都可拆角相消，结果常为特殊角函数值。

方法推广：三角求值先找”角的和差关系”，再看”函数名的异同”，最后才是套公式；顺序反了会绕远路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换
• 2014-新课标I卷理-08 单-和差角公式