2012-陕西卷文-11 填-分段函数复合求值

本题导读

本题考查分段函数的复合求值。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& x⩾0,\\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^x,& x<0,\end{array}$ 则 $f(f(-4))=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$f(-4)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=16$，$f(16)=\sqrt{16}=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由 $-4<0$，代入负数段的解析式：

$f(-4)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=2^4=16$。

再由 $16⩾0$，代入非负段：

$f(f(-4))=f(16)=\sqrt{16}=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值；负指数幂的运算

核心方法：“由内向外”逐层代入，每层先判断自变量落在哪一段，再选对应解析式

避坑指南：$f(-4)$ 用的是 $x<0$ 段的 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，负指数把底数倒过来：${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=2^4=16$，别算成 $\frac{1}{16}$；第二步 $16$ 落在 $x⩾0$ 段，取算术平方根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数求值题，与 2012 年福建卷文第 9 题、2013 年福建卷文第 13 题同族。

结论推广：分段函数复合 $f(f(x_0))$ 的取值取决于中间值 $f(x_0)$ 的落段；两段一个增（$\sqrt{x}$）一个减（${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$），图象在 $x=0$ 处两侧函数值分别为 $0$ 与 $1$，不衔接。

方法推广：分段函数求值固定动作：每层代入前先做”落段判断”，写清楚依据再计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值
• 2013-福建卷文-13 填-分段函数求值
• 2014-上海卷理-04 填-分段函数求值