2012-陕西卷文-17 解-三角函数解析式与求角

本题导读

本题考查正弦型函数的解析式。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 函数 $f(x)=A\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)+1$（$A>0$，$\omega >0$）的最大值为 $3$，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi }{2}$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2)设 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2$，求 $\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$A=2$，$\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \omega =2$，$f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1$；（2）$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 且 $\alpha -\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$，故 $\alpha =\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

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(1)$f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1$；(2)$\alpha =\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $A>0$，函数的最大值为 $1+A=3$，故 $A=2$。

正弦型函数相邻两条对称轴之间的距离为半个周期：$\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}$，故 $T=\pi$。

又 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，所以 $\omega =2$。

因此 $f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1$。

（2）由 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2$：

$2\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1=2$，即 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。

由 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 得 $-\frac{\pi }{6}<\alpha -\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}$。

在该区间内正弦值等于 $\frac{1}{2}$ 的角只有 $\frac{\pi }{6}$，故 $\alpha -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，解得 $\alpha =\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的最大值结构；对称轴间距与周期的关系；正弦函数在给定区间上的解角

核心方法：“最大值定 $A$、对称轴间距定 $\omega$“两条硬信息；（2）中先求出中间角的范围再解 $\sin u=\frac{1}{2}$ 的唯一解

避坑指南：相邻两条对称轴之间的距离是 $\frac{T}{2}$ 而不是 $T$；解 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 时必须先写出 $\alpha -\frac{\pi }{6}$ 的确切范围（$-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}$），否则容易多解出 $\frac{5\pi }{6}$ 一类的角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数解析式与求角综合题，与 2014 年广东卷理第 16 题、2012 年重庆卷文第 19 题同族。

结论推广：$y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的最大值为 $|A|+b$、最小值为 $-|A|+b$；相邻两条对称轴（或相邻一对称轴与一对称中心）间的距离分别为 $\frac{T}{2}$ 与 $\frac{T}{4}$。

方法推广：已知函数值求角：先算出”中间角”的解析式与范围，再在该范围内利用正弦曲线的单调性取唯一解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定
• 2012-重庆卷文-19 解-三角函数解析式与值域
• 2013-四川卷理-05 单-正弦型函数 y = Asin