2013-四川卷理-05 单-正弦型函数 y = Asin

本题导读

本题考查三角函数的图像与性质，以及正弦型函数的解析式确定。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\varphi )$（$\omega >0,-\frac{\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2}$）的部分图象如图所示，则 $\omega ,\varphi$ 的值分别是()

A. $2,-\frac{\pi }{3}$　　　　　B. $2,-\frac{\pi }{6}$　　　　　C. $4,-\frac{\pi }{6}$　　　　　D. $4,\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求周期 $T$ 与 $\omega$：
   • 观察图象中两个特征点的横坐标。从图象左侧经过 $y$ 轴后的第一个波谷（最低点）到紧邻的第一个波峰（最高点）的距离为半个周期 $\frac{T}{2}$。
   • 解析图中标记从 $-\frac{\pi }{3}$ 到 $\frac{5\pi }{12}$ 的跨度包含了 $\frac{3}{4}$ 个周期（从平衡点下行算起）。
   • 计算：$\frac{3}{4}T=\frac{5\pi }{12}-(-\frac{\pi }{3})=\frac{9\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}⟹T=\pi$。
   • 进而由 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 求得 $\omega$。
2. 求初相 $\varphi$：
   • 使用“五点法”中的最高点性质。当 $x=\frac{5\pi }{12}$ 时，函数取得最大值 $2$，此时相位 $\omega x+\varphi =2k\pi +\frac{\pi }{2}$。
   • 代入 $\omega$ 并结合 $\varphi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 锁定结果。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定周期 $T$ 与 $\omega$ 由图象观察可知，从 $x=-\frac{\pi }{3}$ 到 $x=\frac{5\pi }{12}$ 这一段经历了从平衡点（下降）到波谷再到波峰的过程。 这段距离占总周期的 $\frac{3}{4}$： $\frac{3}{4}T=\frac{5\pi }{12}-(-\frac{\pi }{3})=\frac{9\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}$ 解得 $T=\pi$。 因为 $\omega >0$，所以 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$。

第二步：确定初相 $\varphi$ 此时函数解析式为 $f(x)=2\sin (2x+\varphi )$。 由图知，点 $(\frac{5\pi }{12},2)$ 是图象的一个最高点，代入解析式： $2\sin (2\cdot \frac{5\pi }{12}+\varphi )=2⟹\sin (\frac{5\pi }{6}+\varphi )=1$ 根据正弦函数的性质，有： $\frac{5\pi }{6}+\varphi =2k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ $\varphi =2k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}=2k\pi -\frac{\pi }{3}$ 由于给定的范围是 $-\frac{\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2}$，取 $k=0$，得 $\varphi =-\frac{\pi }{3}$。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：准确识别 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 图象中的特征周期段（$\frac{1}{4}T,\frac{1}{2}T,\frac{3}{4}T$）。

核心方法：“代入法”。在求得 $\omega$ 后，代入最高点或最低点坐标是求 $\varphi$ 最稳妥的方法。

避坑指南：计算相位时，要注意 $\varphi$ 的取值范围约束，防止选错 $k$ 值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的平移变换规律（左加右减）、五点法作图原理。

结论推广：在 $y=A\sin (\omega x+\varphi )+B$ 中，$A=\frac{y_{\max }-y_{\min }}{2}$，$B=\frac{y_{\max }+y_{\min }}{2}$。

方法推广：若给出与 $y$ 轴的交点 $(0,y_0)$，可以通过 $2\sin \varphi =y_0$ 快速列式，但需结合图象趋势判断 $\varphi$ 所在的单调区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2024-北京卷-06 单-正弦函数性质
• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数