2012-陕西卷文-19 解-频率分布与条件概率

本题导读

本题考查频率分布直方图的读取。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 $100$ 个进行测试，结果统计如下：

!

(1)估计甲品牌产品寿命小于 $200$ 小时的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 $200$ 小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）甲品牌寿命小于 $200$ 小时的频数 $5+20=25$，概率估计 $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$；（2）不少于 $200$ 小时的样本甲 $75$、乙 $70$，故所求概率为 $\frac{75}{75+70}=\frac{15}{29}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{15}{29}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由甲品牌的频数分布图，寿命小于 $200$ 小时的样本数为 $5+20=25$。

用样本频率估计总体概率，甲品牌产品寿命小于 $200$ 小时的概率估计为 $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$。

（2）寿命不少于 $200$ 小时的样本中：

甲品牌有 $40+25+10=75$ 个，乙品牌有 $30+25+15=70$ 个。

两种品牌销售量相等、抽样个数相等，故在”已使用 $200$ 小时仍统计在内”的产品中，来自甲品牌的条件占比为

$\frac{75}{75+70}=\frac{75}{145}=\frac{15}{29}$。

所以该产品是甲品牌的概率估计为 $\frac{15}{29}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频数分布图的读取；样本频率估计总体概率；按已知条件缩小的”样本空间”（条件概率思想）

核心方法：（1）数频数、除以样本容量；（2）先按条件”寿命不少于 $200$ 小时”圈出样本子集，再在该子集内算甲品牌的占比

避坑指南：（2）的条件是”该产品已使用了 $200$ 小时”，样本空间要缩小为”寿命不少于 $200$ 小时”的那部分（甲 $75$ + 乙 $70$），不能仍用 $200$ 个作分母；“销售量相等”保证了两个品牌产品的先验比例相同，因此可直接用频数比。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计与概率综合题，与 2012 年广东卷文第 17 题、2013 年新课标Ⅱ文第 19 题同族，其（2）是条件概率思想的初等呈现。

结论推广：一般地，“已知事件 $B$ 发生，估计来自类别 $A$ 的概率”$=\frac{n(AB)}{n(B)}$，用频数表示即 $\frac{n_{A\cap B}}{n_{A\cap B}+n_{\bar{A}\cap B}}$；这正是条件概率 $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ 的样本版本。

方法推广：统计概率解答题：先从图表读出各组频数并核对总数；遇”已知……，求……是……的概率”，立刻缩小样本空间再作比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-17 解-频率分布直方图
• 2013-新课标II卷文-19 解-频率分布直方图
• 2014-新课标II卷理-05 单-条件概率公式