2013-上海卷理-02 填-复数概念

本题导读

本题考查复数的代数表示法，以及复数的基本概念。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 设 $m\in \mathbb{R}$，$m^2+m-2+(m^2-1)\text{i}$ 是纯虚数，其中 $\text{i}$ 是虚数单位，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解定义：对于复数 $z=a+b\text{i}$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，若 $z$ 是纯虚数，则必须满足：
   • 实部 $a=0$
   • 虚部 $b\ne 0$
2. 提取分量：在本题中，实部 $a=m^2+m-2$，虚部 $b=m^2-1$。
3. 建立并解方程组：联立 $a=0$ 且 $b\ne 0$，求出 $m$ 的值。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出约束条件 由复数为纯虚数的定义得：

$$\{\begin{array}{l}{m}^2+m-2=0\text{—— (1) 实部等于 0}\\ m^2-1\ne 0\text{—— (2) 虚部不等于 0}\end{array}$$

第二步：解方程与检验 解方程 (1)： $m^2+m-2=0$ $(m+2)(m-1)=0$ 解得 $m=-2$ 或 $m=1$。

解不等式 (2)： $m^2-1\ne 0⟹m\ne 1$ 且 $m\ne -1$。

第三步：确定最终结果 将 $m=-2$ 和 $m=1$ 代入不等式 (2) 检验：

• 当 $m=1$ 时，虚部为 $1^2-1=0$，此时复数为 $0$，不是纯虚数（舍去）。
• 当 $m=-2$ 时，虚部为 $(-2{)}^2-1=3\ne 0$，满足纯虚数定义。

故填入答案为：$-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的分类。 - $z$ 是实数 $⟺$ 虚部为 $0$。 - $z$ 是虚数 $⟺$ 虚部不为 $0$。 - $z$ 是纯虚数 $⟺$ 实部为 $0$ 且虚部不为 $0$。

核心方法：“定义翻译法”。将文字描述转化为代数等式或不等式。

避坑指南：很多同学容易漏掉“虚部不为零”的限制条件，从而错选 $m=1$。记住：$0$ 既不是纯虚数，也不是非纯虚的虚数，它是实数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数相等的充要条件、复数的几何意义。

结论推广：若复数 $z$ 对应的点在复平面的虚轴上（除原点外），则 $z$ 是纯虚数。

方法推广：“定义翻译法”。将文字描述转化为代数等式或不等式。

🔗【关联脉络】

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