2013-上海卷理-10 填-等差数列性质

本题导读

本题考查等差数列，以及等差数列的性质。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 设非零常数 $d$ 是等差数列 $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{19}$ 的公差，随机变量 $\xi$ 等可能地取值 $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{19}$，则方差 $D\xi =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定期望 $E\xi$：
   • 因为 $\xi$ 等可能地取 19 个等差排列的数，其概率均为 $P=1/19$。
   • 根据等差数列的对称性，这组数的平均值（即期望）等于其中间项。
   • 中间项为第 $\frac{19+1}{2}=10$ 项，故 $E\xi =x_{10}$。
2. 构建离差平方和：
   • 方差公式为 $D\xi =\frac{1}{n}\sum (x_i-E\xi {)}^2$。
   • 利用等差数列通项公式 $x_i-x_{10}=(i-10)d$。
3. 计算求和：
   • 将 $(x_i-x_{10}{)}^2$ 转化为 $(i-10{)}^2{d}^2$。
   • 求和项对称分布为 $9^2{d}^2,8^2{d}^2,\dots ,1^2{d}^2,0^2,1^2{d}^2,\dots ,9^2{d}^2$。
   • 利用平方和公式 ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 计算。

✅【答案】

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$30d^2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求数学期望 $E\xi$ 由于 $\xi$ 服从离散型均匀分布，其取值构成等差数列： $E\xi =\frac{1}{19}(x_1+x_2+\cdots +x_{19})$ 根据等差数列求和公式及中项性质： $E\xi =\frac{S_{19}}{19}=\frac{19\times x_{10}}{19}=x_{10}$

第二步：表示方差 $D\xi$ 根据方差定义： $D\xi =\frac{1}{19}{\sum }_{i=1}^{19}(x_i-x_{10}{)}^2$ 因为 $x_i=x_{10}+(i-10)d$，所以 $(x_i-x_{10}{)}^2=(i-10{)}^2{d}^2$。 $D\xi =\frac{d^2}{19}\left[(-9{)}^2+(-8{)}^2+\cdots +(-1{)}^2+0^2+1^2+\cdots +9^2\right]$ 利用对称性： $D\xi =\frac{d^2}{19}\times 2\times {\sum }_{k=1}^9{k}^2$

第三步：利用平方和公式计算 代入公式 ${\sum }_{k=1}^9{k}^2=\frac{9\times (9+1)\times (2\times 9+1)}{6}=\frac{9\times 10\times 19}{6}=285$。 $D\xi =\frac{d^2}{19}\times 2\times 285$ $D\xi =\frac{d^2}{19}\times 570=30d^2$

(注：图片解答中最后结果写的是 $\sqrt{30}|d|$，那是标准差 $\sigma \xi$。题目要求的是方差 $D\xi$，应为 $30d^2$。)

故填入答案为：$30d^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方差的定义及其对等差数列的应用。

核心方法：“平移简化法”。计算方差时，将数列整体平移使均值为 0（即令 $x_{10}=0$），不会改变方差的大小，这能极大地简化代数式。

避坑指南：- 区分方差 $D\xi$ 与标准差 $\sigma \xi$（又称均方差）。 - 注意项数 $n=19$，中间项是第 10 项，两侧各分布 9 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性变换的方差性质 $D(a\xi +b)=a^{2}D\xi$。

结论推广：若数列 $1,2,\dots ,n$ 等可能取值，其方差为 $\frac{n^2-1}{12}$。 对于公差为 $d$、项数为 $n$ 的等差数列，方差为 $d^2\cdot \frac{n^2-1}{12}$。 本题验证：$D\xi =d^2\cdot \frac{19^2-1}{12}=d^2\cdot \frac{360}{12}=30d^2$。

方法推广：“平移简化法”。计算方差时，将数列整体平移使均值为 0（即令 $x_{10}=0$），不会改变方差的大小，这能极大地简化代数式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-02 填-等差数列性质
• 2026-新高考II卷-12 填-等差数列
• 2026-北京卷-12 填-等差数列