2026-北京卷-12 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的最值问题及项的性质判定。第一问通过前 $n$ 项和与通项公式的基本量展开解出公差 $d$；第二问由“$S_n\le S_5$ 恒成立”转化为邻项正负临界条件，确定 $a_1$ 的取值范围并给出一个取值。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_6=6a_6+30$，则公差 $d=$ $\underline{}$ ，若 $S_n\le S_5$ 恒成立，则符合条件的 $a_1$ 的一个取值为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：代入基本量求解公差 $d$：将 $S_6$ 与 $a_6$ 用首项 $a_1$、公差 $d$ 展开，代入已知方程消去 $a_1$，解出 $d$。
2. 第二步：分析和式最值的项分布充要条件：“对任意 $n$ 恒有 $S_n\le S_5$”表明 $S_5$ 是前 $n$ 项和的全局最大值，等价于 $a_5\ge 0$ 且 $a_6\le 0$。
3. 第三步：解不等式组确定 $a_1$ 范围：结合 $d$ 的值求出 $a_1$ 的取值范围，在其中任取一值即可。

✅【答案】

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$-2$，$8$（第二空答案不唯一）

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由前 $n$ 项和公式与通项公式，将 $S_6$ 与 $a_6$ 展开： $S_6=\frac{6}{2}[2a_1+(6-1)d]=3(2a_1+5d)=6a_1+15d$ $a_6=a_1+5d$

代入已知条件 $S_6=6a_6+30$： $6a_1+15d=6(a_1+5d)+30=6a_1+30d+30$ 消去 $a_1$ 得： $15d=30d+30⟹-15d=30⟹d=-2$

于是通项为 $a_n=a_1+(n-1)d=a_1-2n+2$，前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)(-2)]=n(a_1-n+1)$

由 $S_n\le S_5$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，知 $S_5$ 是前 $n$ 项和的最大值。 对等差数列而言，前 $n$ 项和在 $n=5$ 处取最大值的充要条件是 $a_5\ge 0$ 且 $a_6\le 0$，即： $\{\begin{array}{l}{a}_5=a_1-8\ge 0\\ a_6=a_1-10\le 0\end{array}⟹8\le a_1\le 10$

因此第一空填 $-2$，第二空在闭区间 $[8,10]$ 内任取一个值（如 $8$）均可。

故答案为：$-2$，$8$（第二空答案不唯一）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量（$a_1,d$）的公式消元；前 $n$ 项和最值点向单项正负转折点的映射。
2. 核心方法：邻项差值最值控制法。
3. 避坑指南：

• 盲目套用二次函数对称轴：把 $S_n$ 看作关于 $n$ 的二次函数并令对称轴等于 $5$ 易产生边界漏解；数列自变量 $n$ 是离散正整数，$S_5$ 最大对应的对称轴范围在 $[4.5,5.5]$，直接用邻项正负判定最稳妥。
• 漏掉单侧边界：须同时列出 $a_5\ge 0$ 与 $a_6\le 0$，才能得到正确的交集区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是“等差数列”章节中关于“前 $n$ 项和最值”的经典开放型填空题，重点考查离散最值在临界项符号判定上的应用。
2. 结论推广：对任意公差 $d<0$ 的等差数列，其前 $n$ 项和 $S_n$ 在 $n=m$ 处取得最大值的充要条件是单项刚好在 $m$ 处发生正负跨越： $\{\begin{array}{l}{a}_m\ge 0\\ a_{m+1}\le 0\end{array}$ 掌握该临界项性质可绕开复杂函数运算，直接锁定参数边界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项