2013-上海卷理-21 解-正弦函数的单调性

本题导读

本题考查三角函数的图像与性质。核心在于整体代换法、图象变换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=2\sin (\omega x)$，其中常数 $\omega >0$.

(1)若 $y=f(x)$ 在 $[-\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3}]$ 上单调递增，求 $\omega$ 的取值范围；

(2)令 $\omega =2$，将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象.区间 $[a,b]$ ($a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a<b$) 满足：$y=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的 $[a,b]$ 中，求 $b-a$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（单调性）：
   • 整体法：令 $z=\omega x$。要使 $f(x)$ 在指定区间递增，则对应的 $z$ 必须落在正弦函数的单调增区间 $[2k\pi -\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{\pi }{2}]$ 内。
   • 锁定 $k$：由于 $x$ 包含 $0$，且 $\omega >0$，对应的 $z$ 区间必包含 $0$，故取 $k=0$。
   • 列不等式：满足 $-\frac{\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}\omega$ 且 $\frac{2\pi }{3}\omega \le \frac{\pi }{2}$。
2. 第二问（零点分布）：
   • 解析式构造：根据“左加右减，上加下减”原则，$g(x)=2\sin [2(x+\frac{\pi }{6})]+1=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})+1$。
   • 求解零点：令 $g(x)=0⟹\sin (2x+\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$。利用周期性求出零点通解。
   • 间距分析：观察相邻零点之间的距离。正弦函数与直线 $y=-1/2$ 相交的零点并不是均匀分布的，而是在一个周期内成对出现。
   • 最小长度：要使区间最短且包含 30 个零点，应该让区间端点刚好落在第 1 个和第 30 个零点上。计算这 29 段间距的总和。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 因为 $\omega >0$，函数 $f(x)=2\sin (\omega x)$ 的单调增区间为 $[-\frac{\pi }{2\omega }+\frac{2k\pi }{\omega },\frac{\pi }{2\omega }+\frac{2k\pi }{\omega }]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 依题意，令 $k=0$，则需满足： $\{\begin{array}{l}-\frac{\pi }{4}\ge -\frac{\pi }{2\omega }\\ \frac{2\pi }{3}\le \frac{\pi }{2\omega }\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\omega \le 2\\ \omega \le \frac{3}{4}\end{array}$ 又因为 $\omega >0$，综上所述，$\omega$ 的取值范围是 $(0,\frac{3}{4}]$。

（2）解： 由题意得，$g(x)=2\sin [2(x+\frac{\pi }{6})]+1=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})+1$。 令 $g(x)=0$，则 $\sin (2x+\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$。 设 $2x+\frac{\pi }{3}=z$，则 $z=2k\pi -\frac{\pi }{6}$ 或 $z=2k\pi -\frac{5\pi }{6}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

1. 由 $2x+\frac{\pi }{3}=2k\pi -\frac{\pi }{6}$ 得 $x=k\pi -\frac{\pi }{4}$；
2. 由 $2x+\frac{\pi }{3}=2k\pi -\frac{5\pi }{6}$ 得 $x=k\pi -\frac{7\pi }{12}$。

我们将这些零点按从小到大的顺序排列：$\dots ,-\frac{7\pi }{12},-\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{12},\frac{3\pi }{4},\dots$ 相邻零点之间的距离依次为：

• $d_1=-\frac{\pi }{4}-(-\frac{7\pi }{12})=\frac{4\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$；
• $d_2=\frac{5\pi }{12}-(-\frac{\pi }{4})=\frac{8\pi }{12}=\frac{2\pi }{3}$。 周期 $T=\pi =d_1+d_2$。

要使 $[a,b]$ 包含至少 30 个零点且 $b-a$ 最小，区间应从某个零点开始到第 30 个零点结束。 这 30 个零点之间共有 29 个间距。 为了使总长度最短，我们应包含尽可能多的短间距 $d_1$。 在 29 个间距中，由于是交替出现的，必然是 15 个较长间距和 14 个较短间距，或者 14 个较长间距和 15 个较短间距。 可知后者（14 个 $\frac{2\pi }{3}$ 和 15 个 $\frac{\pi }{3}$）总和更小。 $(b-a{)}_{\min }=14\times \frac{2\pi }{3}+15\times \frac{\pi }{3}=\frac{28\pi +15\pi }{3}=\frac{43\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的单调区间公式；平移变换中“对 $x$ 变换”的原则；非均匀分布零点的计数问题。

核心方法：“零点排队法”。处理零点个数与区间长度关系时，先算出一个周期内的零点分布情况，再看“间距组合”。

避坑指南：- 第一问：注意区间包含原点时，$k$ 只能取 0。 - 第二问：平移时 $\frac{\pi }{6}$ 必须加在 $x$ 上，即 $2(x+\pi /6)$，容易错写成 $2x+\pi /6$。 - 零点间距：不要习惯性认为间距都是半个周期。只有当 $\sin (\omega x+\varphi )=0$ 时零点才均匀分布。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的图象变换（伸缩与平移）、二倍角公式。

结论推广：对于 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )+B$ ($|B|<|A|$)，其零点在一个周期内分布不均。若需要 $N$ 个零点，最小跨度取决于这 $N-1$ 个间距中包含多少个较长的间距。

方法推广：“零点排队法”。处理零点个数与区间长度关系时，先算出一个周期内的零点分布情况，再看“间距组合”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2026-新高考I卷-13 填-正弦函数的性质
• 2024-北京卷-06 单-正弦函数性质