2013-北京卷文-08 单-正方体距离取值

本题导读

本题考查空间两点间的距离，以及正方体的结构特征。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$P$ 为对角线 $B{D}_1$ 的三等分点，$P$ 到各顶点的距离的不同取值有()

A. $3$ 个　　　　　B. $4$ 个　　　　　C. $5$ 个　　　　　D. $6$ 个

🔍【思路分析】

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1. 设棱长 $1$：$B(1,1,0)$，$D_1(0,0,1)$，从 $B$ 数起的第一个三等分点 $P=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$。
2. 距离平方依次算出只有 $\frac{3}{9}$、$\frac{6}{9}$、$\frac{9}{9}$、$\frac{12}{9}$ 四种，故不同取值 $4$ 个。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $1$，以 $D$ 为原点、$DA$ 为 $x$ 轴、$DC$ 为 $y$ 轴、$D{D}_1$ 为 $z$ 轴建系： $A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),$ $A_1(1,0,1),B_1(1,1,1),C_1(0,1,1),D_1(0,0,1).$ $B{D}_1$ 上从 $B$ 数起的第一个三等分点为 $P=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right).$ 逐一计算（平方后比较）：

• $|PB{|}^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}$，$|P{D}_1{|}^2=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{12}{9}$；
• $|PA{|}^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{6}{9}$，$|PC{|}^2=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{6}{9}$，$|P{B}_1{|}^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}$；
• $|PD{|}^2=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{9}{9}$，$|P{A}_1{|}^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{9}{9}$，$|P{C}_1{|}^2=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{9}{9}$。 不同取值的平方为 $\frac{3}{9},\frac{6}{9},\frac{9}{9},\frac{12}{9}$，共 $4$ 个，对应距离 $\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{\sqrt{6}}{3}$、$1$、$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即不同距离有 $4$ 个。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中点到顶点的距离

核心方法：设棱长 $1$，$P$ 为 $B{D}_1$ 三等分点，用距离公式逐一算 $|PX|$ 并数不同取值

避坑指南：三等分点有两个，但由对称性两组距离的取值集合相同；对角线方向的顶点（$B$、$D_1$）与面对角方向、体对角方向的顶点距离各不相同——按与 $P$ 的相对位置分类数，别漏也别重。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间两点间的距离与分类计数（北京卷特色小题）。

结论推广：正方体棱长为 $1$ 时建系，两点距离 $|PQ|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$。

方法推广：距离取值个数两步：建系写出各顶点与 $P$ 的坐标 → 逐一算距离并归并相同值，数不同取值个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-11 填-三视图棱长
• 2015-北京卷文-2