2010-大纲卷II文-11 单-正方体等距点

本题导读

考查正方体中的等距点。体对角线 $B_{1}D$ 上的点均满足条件，有无数个，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 与正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的三条棱 $AB$，$C{C}_1$，$A_1{D}_1$ 所在直线的距离相等的点()

A. 有且只有 $1$ 个　　　　　　　　　　　　　　B. 有且只有 $2$ 个

C. 有且只有 $3$ 个　　　　　　　　　　　　　　D. 有无数个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设棱长为 $1$，体对角线 $B_{1}D$ 上取点 $P(1-t,t,1-t)$。
2. $P$ 到 $AB$ 的距离 $\sqrt{t^2+(1-t{)}^2}$。
3. $P$ 到 $C{C}_1$、到 $A_1{D}_1$ 的距离同为 $\sqrt{t^2+(1-t{)}^2}$。
4. $t$ 任意，故满足条件的点有无数个。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $1$，取坐标 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(1,1,1)$，$D_1(0,1,1)$。 三条棱所在直线分别为：$AB$（$y=0,z=0$），$C{C}_1$（$x=1,y=1$），$A_1{D}_1$（$x=0,z=1$）。 考察体对角线 $B_{1}D$ 上的点 $P(1-t,t,1-t)$（$t\in \mathbf{R}$）： $P$ 到直线 $AB$ 的距离为 $\sqrt{t^2+(1-t{)}^2}$； $P$ 到直线 $C{C}_1$ 的距离为 $\sqrt{((1-t)-1{)}^2+(t-1{)}^2}=\sqrt{t^2+(1-t{)}^2}$； $P$ 到直线 $A_1{D}_1$ 的距离为 $\sqrt{(1-t{)}^2+((1-t)-1{)}^2}=\sqrt{t^2+(1-t{)}^2}$。 三者恒相等，而 $t$ 可取任意实数， 故满足条件的点有无数个，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中到直线距离相等的点

核心方法：建系写出三个距离的表达式，找恒成立的轨迹

避坑指南：这是轨迹存在性问题，举出一条曲线（体对角线 $B_{1}D$）即证”无数个”；误以为只有有限个特殊点（中心、顶点）就会错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点 $P(x,y,z)$ 到直线 $AB$（$x$ 轴）的距离是 $\sqrt{y^2+z^2}$，到直线距离看垂直平面内的投影。

结论推广：三条棱 $AB,C{C}_1,A_1{D}_1$ 两两异面且关于体对角线 $B_{1}D$ 对称，对称轴上的点天然等距。

方法推广：两个方程三个未知量，解集一般是曲线——“无数个”是结构性结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-12 单-正方体展开图
• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2013-北京卷文-08 单-正方体距离取值
• 2009-安徽卷文-11 填-空间坐标系距离