2013-北京卷理-17 解-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系。核心在于几何证明法、空间直角坐标系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$A{A}_1{C}_{1}C$ 是边长为 4 的正方形.平面 $ABC\perp$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$，$AB=3$，$BC=5$.

(1)求证：$A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$；

(2)求二面角 $A_1-B{C}_1-B_1$ 的余弦值；

(3)证明：在线段 $B{C}_1$ 上存在点 $D$，使得 $AD\perp A_{1}B$，并求 $\frac{BD}{B{C}_1}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（线面垂直证明）：
   • 利用正方形性质得到 $A{A}_1\perp AC$。
   • 结合面面垂直的性质定理（若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面），直接证出 $A{A}_1\perp$ 底面。
2. 第二问（二面角计算）：
   • 建系准备：验证底面 $△ABC$ 是否包含垂直关系。由 $AC=4,AB=3,BC=5$ 满足勾股定理，得 $AC\perp AB$。
   • 建立坐标系：以 $A$ 为原点，$AC,AB,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求法向量：分别计算平面 $A_{1}B{C}_1$ 和平面 $B_{1}B{C}_1$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$，利用公式求解余弦值。
3. 第三问（动点与比例）：
   • 参数化动点：设点 $D$ 在线段 $B{C}_1$ 上，利用向量共线或坐标分量比例表示点 $D$。
   • 建立垂直方程：利用 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0$ 建立关于位置参数 $t$ 的方程。
   • 求解比例：求出点 $D$ 位置后，利用相似或射影比例求出 $\frac{BD}{B{C}_1}$。

✅【答案】

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则 $A(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),A_1(0,0,4),B_1(0,3,4),C_1(4,0,4)$。；此时 $\frac{BD}{B{C}_1}=\frac{t}{z_{C_1}}=\frac{36/25}{4}=\frac{9}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 因为四边形 $A{A}_1{C}_{1}C$ 为正方形，所以 $A{A}_1\perp AC$。 又因为平面 $ABC\perp$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$，且平面 $ABC\cap$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C=AC$， $A{A}_1\subset$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$，且 $A{A}_1\perp AC$， 根据面面垂直的性质定理，可得 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$。

（Ⅱ）解： 在底面 $△ABC$ 中，$AC=4,AB=3,BC=5$。 因为 $4^2+3^2=5^2$，即 $A{C}^2+A{B}^2=B{C}^2$，所以 $AC\perp AB$。 如图，以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 则 $A(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),A_1(0,0,4),B_1(0,3,4),C_1(4,0,4)$。 $\overrightarrow{B{C}_1}=(4,-3,4)$，$\overrightarrow{B{A}_1}=(0,-3,4)$，$\overrightarrow{B{B}_1}=(0,0,4)$。


设平面 $A_{1}B{C}_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=4x_1-3y_1+4z_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_1}=-3y_1+4z_1=0\end{array}$ 令 $y_1=4$，得 $x_1=0,z_1=3$，故 $\overrightarrow{n_1}=(0,4,3)$。 设平面 $B_{1}B{C}_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=4x_2-3y_2+4z_2=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=4z_2=0\end{array}$ 令 $x_2=3$，得 $y_2=4,z_2=0$，故 $\overrightarrow{n_2}=(3,4,0)$。 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{0\times 3+4\times 4+3\times 0}{\sqrt{25}\times \sqrt{25}}=\frac{16}{25}$ 由图知二面角为锐角，故余弦值为 $\frac{16}{25}$。

（Ⅲ）证明与求解： 设点 $D$ 的竖坐标为 $t$ ($0\le t\le 4$)。 在平面 $BC{C}_1{B}_1$ 中，利用相似关系可得 $D(t,\frac{3}{4}(4-t),t)$。 $\overrightarrow{AD}=(t,\frac{3}{4}(4-t),t)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(0,3,-4)$。 若 $AD\perp A_{1}B$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0$： $t\times 0+\frac{3}{4}(4-t)\times 3+t\times (-4)=0⟹\frac{9}{4}(4-t)-4t=0⟹9-\frac{9}{4}t-4t=0$ 解得 $t=\frac{36}{25}$。 由于 $0<\frac{36}{25}<4$，故点 $D$ 在线段 $B{C}_1$ 上。 此时 $\frac{BD}{B{C}_1}=\frac{t}{z_{C_1}}=\frac{36/25}{4}=\frac{9}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：空间坐标系是处理此类问题的“降维打击”。第一步寻找底面的垂直关系至关重要，本题中勾股定理的隐蔽运用是建系的基石。 2. 易错点：第三问中点 $D$ 坐标的表示。由于 $D$ 在 $B{C}_1$ 上，可以利用向量共线式 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+k\overrightarrow{B{C}_1}$ 来表示，计算更简洁。

避坑指南：求二面角时，最后要通过几何图形判断是锐角还是钝角，向量夹角余弦值不一定等于二面角余弦值（需根据法向量方向判定）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行、点到平面的距离（法向量投影法）。

结论推广：在柱体中，若侧棱垂直于底面，该柱体称为正棱柱（底面为正多边形时）或直棱柱。

方法推广：涉及“是否存在点满足某种度量关系”的题目，设参数列方程是通法。若方程有解且在定义域内，则存在。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直