2013-四川卷文-20 解-直线与圆韦达

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。核心在于联立消元用定参、整体代换的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 已知圆 $C$ 的方程为 $x^2+(y-4{)}^2=4$，点 $O$ 是坐标原点，直线 $l:y=kx$ 与圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点.

(1)求 $k$ 的取值范围；

(2)设 $Q(m,n)$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\frac{2}{|OQ{|}^2}=\frac{1}{|OM{|}^2}+\frac{1}{|ON{|}^2}$，请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数.

🔍【思路分析】

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1. 把 $y=kx$ 代入圆的方程，得关于 $x$ 的二次方程。
2. “直线与圆有两个交点” ⇔ 该方程有两个不相等实根 ⇔ $\Delta >0$，解出 $k$ 的范围。
3. 第 (2) 问：$M,N,Q$ 共线且 $Q$ 在线段上 → $n=km$；用两点距离公式把 $|OQ{|}^2,|OM{|}^2,|ON{|}^2$ 都写成 $x$ 的平方倍。
4. 韦达定理整体代入，解出 $k^2$ 与 $m^2$ 的关系，再由 $k^2>3$ 与 $m\ne 0$ 补定义域。

✅【答案】

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(1)$k\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\infty )$；(2)$n=\sqrt{\frac{3}{5}(m^2+12)}$，其中 $-\sqrt{3}<m<0$ 或 $0<m<\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）把 $y=kx$ 代入 $x^2+(y-4{)}^2=4$，得 $(1+k^2)x^2-8kx+12=0.$ 直线与圆有两个交点，等价于该方程有两个不相等的实根，故 $\Delta =(-8k{)}^2-4(1+k^2)\times 12=16(k^2-3)>0,$ 即 $k^2>3$，所以 $k\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\infty )$。 （2）设 $M(x_1,k{x}_1)$，$N(x_2,k{x}_2)$，由韦达定理 $x_1+x_2=\frac{8k}{1+k^2},x_1{x}_2=\frac{12}{1+k^2}.$ 因为 $Q(m,n)$ 是线段 $MN$ 上的点，且在直线 $y=kx$ 上，所以 $n=km$。 又 $|OQ{|}^2=(1+k^2)m^2$，$|OM{|}^2=(1+k^2)x_1^2$，$|ON{|}^2=(1+k^2)x_2^2$。代入题设并约去正因子 $1+k^2$： $\frac{2}{m^2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2{x}_2^2}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}.$ 其中 $(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{64k^2}{(1+k^2{)}^2}-\frac{24}{1+k^2}=\frac{40k^2-24}{(1+k^2{)}^2},(x_1{x}_2{)}^2=\frac{144}{(1+k^2{)}^2},$ 故 $\frac{2}{m^2}=\frac{40k^2-24}{144}=\frac{5k^2-3}{18}$，解得 $k^2=\frac{3(m^2+12)}{5m^2}.$ 于是 $n^2=k^2{m}^2=\frac{3}{5}(m^2+12)$。由于圆在 $x$ 轴上方、线段 $MN$ 上的点满足 $n>0$，故 $n=\sqrt{\frac{3}{5}(m^2+12)}.$ 再由 $k^2>3$ 得 $\frac{3(m^2+12)}{5m^2}>3$，即 $m^2+12>5m^2$，解得 $0<m^2<3$；又题设分母不为零，$m\ne 0$。 所以 $-\sqrt{3}<m<0$ 或 $0<m<\sqrt{3}$（此时对应的弦端点横坐标同号，确实存在线段 $MN$ 上的点满足条件）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系、韦达定理与条件的代数化

核心方法：联立得 $(1+k^2)x^2-8kx+12=0$，$\Delta =16(k^2-3)>0$ → $k\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\infty )$；由 $\frac{2}{m^2}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}=\frac{5k^2-3}{18}$ 得 $k^2=\frac{3(m^2+12)}{5m^2}$，$n=\sqrt{\frac{3}{5}(m^2+12)}$

避坑指南：$Q$ 在线段 $MN$ 上（而非仅在弦所在直线上）决定了 $n$ 取正根且 $m$ 有范围：由 $k^2>3$ 得 $0<m^2<3$，又 $m\ne 0$；把 $\frac{1}{|OM{|}^2}+\frac{1}{|ON{|}^2}$ 化为 $\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1{x}_2{)}^2}$ 时，分子要用 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$，别漏掉 $-2x_1{x}_2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“直线过原点交圆 + 长度倒数和”是解析几何中”韦达定理 + 齐次化”的经典结构，与 2013 天津文 18 的椭圆韦达题同法。

结论推广：凡目标式关于 $x_1,x_2$ 对称且为负次幂，均可先写成 $\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1{x}_2{)}^2}$，再整体用两根之和、两根之积代入，避免直接求交点坐标。

方法推广：求轨迹（函数）题务必补定义域：本题由”直线与圆有两个交点”与”点在弦的线段上”两个隐含条件夹出 $0<m^2<3$，漏定义域会被扣分。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-安徽卷文-06 单-圆的弦长
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直