本题导读
本题考查排列组合，以及排列与排列数。
📌【题干】
Question
（2013年四川卷(理)） 从 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ，共可得到 的不同值的个数是()
A. 9 B. 10 C. 18 D. 20
🔍【思路分析】
破题导航
利用对数性质转化： 根据对数运算法则 。 因为对数函数 在 上是严格单调递增的，所以 的不同取值个数完全等价于比值 的不同取值个数。
计算总取法： 从 5 个数中取出 2 个不同的数进行排列（ 作为分子， 作为分母），总取法为 种。
寻找重复项（去重）： 在 中，检查是否存在不同的有序数对 使得其比值 相等。
- 观察倍数关系： 是 的三倍， 是 的三倍。
- 发现等式： 以及 。
得出结论： 从总数中减去重复计算的个数。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
第一步：公式转化 设 。由对数性质可知 。 要计算 的不同值的个数，即计算集合 中元素的个数。
第二步：计算排列总数 从集合 中任取两个不同的数排列为 ，共有：
第三步：排除重复的比值 遍历所有可能的比值，寻找相等的项：
- 当比值为 时： 和 相等，产生了 1 个重复值。
- 当比值为 时： 和 相等，产生了 1 个重复值。
- 其他比值如 均不存在其他组合使其相等（因为 为质数且不是其他数的因子）。
第四步：计算最终个数 不同值的个数为 个。
故正确答案为：C。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：排列数的应用；对数运算性质的应用；等价转化思想。
核心方法：“先总后减”。在排列组合中，面对可能有重复的情况，先算出无约束的总数，再人工剔除重复项是常见策略。
避坑指南：- 容易忽略 与 是互为相反数（比值互为倒数），它们是不同的值。 - 务必检查数字之间的倍数关系（如本题中的 ），这是产生重复比值的唯一来源。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：对数函数的单调性、分数的化简与性质。
结论推广：若集合中存在等比数列子集（如 ），则在该子集中选数求商必会产生重复。
方法推广：若题目要求求 的不同值，则需通过寻找相等的乘积（如 ，但本题要求取不同数，故不适用）来去重。
🔗【关联脉络】
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