2013-四川卷理-12 填-向量加法的平行四边形法则

本题导读

本题考查向量的线性运算，以及向量加法的平行四边形法则。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AO}$，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 应用向量加法法则：
   • 在平行四边形 $ABCD$ 中，根据向量加法的 平行四边形法则，从同一点 $A$ 出发的两条边向量之和等于以这两条边为邻边的平行四边形的对角线向量。
   • 即：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$。
2. 利用对角线几何性质：
   • 平行四边形的对角线互相平分。
   • 点 $O$ 是对角线 $AC$ 的中点，因此向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 共线且长度为 2 倍关系。
   • 即：$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$。
3. 建立等量关系：
   • 联立上述两个等式，对比题干中的 $\lambda \overrightarrow{AO}$ 即可求得结果。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据平行四边形法则求和向量 由于 $ABCD$ 是平行四边形，以 $AB,AD$ 为邻边的对角线是 $AC$。 根据向量加法的平行四边形法则： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

第二步：利用对角线平分性质转化 对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。 由平行四边形性质知，$O$ 为 $AC$ 的中点。 根据向量数乘的几何意义： $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$

第三步：确定 $\lambda$ 的值 代入原式： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$ 对比题干 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AO}$。 得 $\lambda =2$。

故填入答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的几何表现形式（平行四边形法则与三角形法则）。

核心方法：“几何性质向量化”。将几何图形中“中点”、“平分”等语言转化为向量间的数乘关系（如 $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$）。

避坑指南：注意向量的方向性，确保起点一致（本题均为 $A$ 点起点，难度较低）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线定理、平行四边形性质。

结论推广：若 $O$ 为 $△ABC$ 所在平面内一点，满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$，则 $O$ 为该三角形的重心。

方法推广：在处理涉及平行四边形的向量问题时，通常以其中一个顶点为基点，利用两条邻边向量作为基底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-06 单-向量的模
• 2023-新高考II卷-13 填-平面向量
• 2015-新课标II卷文-04 单-平面向量