2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值

本题导读

本题考查函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 设 $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的函数，且当 $x\in [1,3)$ 时，$f(x)=x-2$，则 $f(-1)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $f(-1)=f(-1+2)=f(1)$。
2. $1\in [1,3)$，故 $f(1)=1-2=-1$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 以 $2$ 为周期，所以 $f(-1)=f(-1+2)=f(1).$ 又 $1\in [1,3)$，由题设解析式 $f(1)=1-2=-1,$ 故 $f(-1)=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期函数求值

核心方法：$f(x+T)=f(x)$，把目标点平移进已知解析式的区间

避坑指南：周期为 $2$，$f(-1)=f(-1+2)=f(1)$——往右平移进 $[1,3)$；若往左平移两步到 $[-3,-1)$ 就没有解析式可用了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期函数（全国卷常考小题）。

结论推广：$f(x+T)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立；求值时把自变量加减整数倍周期，移进已知解析式的区间。

方法推广：周期求值一步：加减若干个周期，把目标自变量移入解析式已知的区间再代入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期