2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值

本题导读

本题考查函数的周期性，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 设函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的周期为 $2$ 的偶函数，当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)=x+1$，则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由周期为 $2$：$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}-2\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$。

由 $f$ 为偶函数：$f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$。

$\frac{1}{2}\in [0,1]$，代入 $f(x)=x+1$ 得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$。

故答案为 $\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数周期性与奇偶性的综合运用

核心方法：周期先”平移”自变量，奇偶再”翻折”自变量，最终落到已知解析式的区间

避坑指南：先用周期还是先用奇偶都可以，但每步自变量的变化要写清楚；$\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$，别算成 $\frac{1}{2}$ 后漏掉偶函数这一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期偶函数求值题，与 2013 年大纲卷文第 13 题、2014 年四川卷文第 13 题同族。

结论推广：周期为 $T$：$f(x)=f(x\pm nT)$；偶函数：$f(-x)=f(x)$，联合可将任意点的函数值化到给定区间。

方法推广：周期+奇偶求值题固定套路：把目标自变量加减整数倍周期，再利用奇偶性翻入”解析式已知”的区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值
• 2014-四川卷文-13 填-周期函数求值
• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间