2013-大纲卷理-03 单-向量加减法

本题导读

本题考查向量的线性运算，以及向量的加法与减法。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知向量 $\vec{m}=(\lambda +1,1)$，$\vec{n}=(\lambda +2,2)$，若 $(\vec{m}+\vec{n})\perp (\vec{m}-\vec{n})$，则 $\lambda =$ ()

A. $-4$　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标运算：首先根据向量加减法的坐标运算法则，计算出向量 $\vec{m}+\vec{n}$ 和 $\vec{m}-\vec{n}$ 的具体坐标表示。
2. 垂直判定：利用向量垂直的充要条件——两个非零向量垂直等价于它们的数量积（点积）等于零。
   • 若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
3. 建立方程：将计算出的坐标代入数量积公式，解出关于 $\lambda$ 的一元一次方程。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算加减后的向量坐标 已知 $\vec{m}=(\lambda +1,1)$，$\vec{n}=(\lambda +2,2)$。 则：

• $\vec{m}+\vec{n}=(\lambda +1+\lambda +2,1+2)=(2\lambda +3,3)$
• $\vec{m}-\vec{n}=(\lambda +1-(\lambda +2),1-2)=(-1,-1)$

第二步：利用垂直关系建立方程 因为 $(\vec{m}+\vec{n})\perp (\vec{m}-\vec{n})$，所以： $(\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})=0$ 代入坐标： $(2\lambda +3)\times (-1)+3\times (-1)=0$ $-(2\lambda +3)-3=0$

第三步：解方程 $-2\lambda -3-3=0$ $-2\lambda =6$ $\lambda =-3$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

核心方法：坐标化处理。将几何关系转化为代数运算。

避坑指南：- 减法运算时注意负号的分配：$\lambda +1-(\lambda +2)=-1$。 - 数量积公式不要记错：是对应项乘积之和，而不是对应项相乘。 - 另解思路：由 $(\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})=0$ 可展开得 $|\vec{m}{|}^2-|\vec{n}{|}^2=0$，即 $|\vec{m}|=|\vec{n}|$。利用模相等建立方程：$(\lambda +1{)}^2+1^2=(\lambda +2{)}^2+2^2$，解得 $\lambda =-3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模的计算、向量平行的坐标表示。

结论推广：若 $(\vec{a}+\vec{b})\perp (\vec{a}-\vec{b})$，则必有 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$。

方法推广：涉及平面向量的夹角、垂直、平行问题，通常优先考虑坐标法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-10 单-向量模
• 2014-湖北卷文-12 填-向量模
• 2014-江西卷文-12 填-向量模