2007-四川卷理-04 单-因式分解代数变形

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系式。通过平方差公式将高次三角函数式降次化简，再利用平方关系转化为关于单一样式的代数式求解。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 已知 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$ 的值为()

A. $-\frac{1}{5}$　　　　　　B. $-\frac{3}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　D. $\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三角式降次：利用平方差公式将高次式化为 $({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$．

2. 同名化简：结合 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 与 ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$ 统一为仅含 $\sin \alpha$ 的代数式直接代入．

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$ 因为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$， 所以： $\text{原式}={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha -(1-{\sin }^2\alpha )=2{\sin }^2\alpha -1$ 由已知 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，得 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$． 代入可得： $2\times \frac{1}{5}-1=-\frac{3}{5}$ 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平方差公式的逆向应用，同角三角函数的平方恒等式．

2. 核心方法：高次式化低次式的代数降次法．

3. 避坑指南：避免盲目求出 $\cos \alpha$ 的精确值，因 $\alpha$ 的象限未定，直接求值易引发正负号讨论的冗余或错误．

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中三角恒等变形的基本习题，本质是二倍角余弦公式 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 的代数变形包装．

5. 结论推广：对任意角 $\alpha$，恒有等式 ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha -1$ 成立．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-03 单-向量加减法