2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及平方关系。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知 $\alpha$ 是第三象限角，$\sin \alpha =-\frac{1}{3}$，则 $\cot \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定符号：因为 $\alpha$ 是第三象限角，根据三角函数在各象限的符号（全、正、切、余），可知在第三象限中 $\sin \alpha <0$，$\cos \alpha <0$，而 $\tan \alpha >0$，故 $\cot \alpha >0$。
2. 利用平方关系求 $\cos \alpha$：利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 计算 $\cos \alpha$ 的绝对值，再结合象限确定其负号。
3. 利用商数关系求 $\cot \alpha$：根据定义 $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$（或 $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$）计算结果。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $\cos \alpha$ 的符号与数值 因为 $\alpha$ 是第三象限角，所以 $\cos \alpha <0$。 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$ 代入 $\sin \alpha =-\frac{1}{3}$： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

第二步：计算 $\cot \alpha$ 根据商数关系： $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ 代入数值： $\cot \alpha =\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times 3=2\sqrt{2}$

故答案为：$2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的基本关系式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 以及 $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$。

核心方法：“先定号，后求值”。这是处理三角函数求值问题的标准程序。

避坑指南：- 忽略象限限制导致符号写错。 - 对 $\cot \alpha$ 的定义记忆模糊（注意 $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$）。 - 快捷法：在第三象限构造直角三角形。令对边 $y=-1$，斜边 $r=3$，则邻边 $x=-\sqrt{3^2-(-1{)}^2}=-2\sqrt{2}$。由定义 $\cot \alpha =\frac{x}{y}=\frac{-2\sqrt{2}}{-1}=2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式、两角和与差的三角函数。

结论推广：对于同角三角函数，已知其中一个值及所在象限，即可求出其余五个值。

方法推广：涉及坐标定义法处理任意角的三角函数问题，构造 $x,y,r$ 是最稳妥的万能法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-06 单-同角三角函数
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2014-福建卷文-18 解-三角函数