2013-天津卷文-07 单-偶函数不等式

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty )$ 上单调递增. 若实数 $a$ 满足 $f({\log }_{2}a)+f\left({\log }_{\frac{1}{2}}a\right)⩽2f(1)$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $[1,2]$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left[\frac{1}{2},2\right]$　　　　D. $(0,2]$

🔍【思路分析】

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1. ${\log }_{1/2}a=-{\log }_{2}a$，$f$ 偶 → $f({\log }_{1/2}a)=f({\log }_{2}a)$。
2. 条件化为 $2f({\log }_{2}a)⩽2f(1)$，即 $f({\log }_{2}a)⩽f(1)$。
3. 偶 + 在 $[0,+\infty )$ 递增 → $|{\log }_{2}a|⩽1$ → $\frac{1}{2}⩽a⩽2$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{\frac{1}{2}}a=\frac{\lg a}{\lg \frac{1}{2}}=-\frac{\lg a}{\lg 2}=-{\log }_{2}a$，得 $f\left({\log }_{\frac{1}{2}}a\right)=f\left(-{\log }_{2}a\right).$ 又 $f(x)$ 是偶函数，$f(-x)=f(x)$，故 $f\left(-{\log }_{2}a\right)=f\left({\log }_{2}a\right)$。于是原不等式化为 $2f\left({\log }_{2}a\right)⩽2f(1),\text{即}f\left({\log }_{2}a\right)⩽f(1).$ 因 $f(x)$ 为偶函数且在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，故 $f(t)⩽f(1)⟺|t|⩽1,$ 取 $t={\log }_{2}a$ 得 $|{\log }_{2}a|⩽1\Rightarrow -1⩽{\log }_{2}a⩽1\Rightarrow \frac{1}{2}⩽a⩽2.$ 所以 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},2\right]$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的对称性与单调性解不等式

核心方法：${\log }_{1/2}a=-{\log }_{2}a$，由偶性 $f\left({\log }_{1/2}a\right)=f\left(-{\log }_{2}a\right)=f\left({\log }_{2}a\right)$ → $2f\left({\log }_{2}a\right)⩽2f(1)$ → $\left|{\log }_{2}a\right|⩽1$ → $\frac{1}{2}⩽a⩽2$

避坑指南：两步：① 用 ${\log }_{1/2}a=-{\log }_{2}a$ 与偶函数把两项并为 $2f({\log }_{2}a)$；② 在 $[0,+\infty )$ 上递增，故 $f(|t|)⩽f(1)⟺|t|⩽1$——必须取绝对值，否则会漏掉 $a<1$ 的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的奇偶性、单调性与对数不等式。

结论推广：对数换底（互为相反数）；偶函数性质；单调性脱去 $f$。

方法推广：合并为 $f({\log }_{2}a)$ → 用偶性化为 $f(|{\log }_{2}a|)$ → 由单调性得 $|{\log }_{2}a|⩽1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间
• 2013-北京卷文-02 单-不等式性质
• 2015-天津卷文-07 单-偶函数比大小