2013-天津卷理-10 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） $(x-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^6$ 的二项展开式中的常数项为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项式展开的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 整理指数部分：将通项公式中的 $x$ 及其底数合并，化简为 $k\cdot x^m$ 的形式。
3. 寻找常数项条件：常数项即 $x$ 的指数为 $0$ 的项。令 $m=0$ 求出 $r$ 的值。
4. 计算系数值：将求得的 $r$ 代入系数部分，求出最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

15

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 对于二项式 $(x-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^6$，其中 $n=6,a=x,b=-x^{-\frac{1}{2}}$。 通项公式为： $T_{r+1}=C_6^r\cdot x^{6-r}\cdot {\left(-x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r$

第二步：化简通项 $T_{r+1}=C_6^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{6-r}\cdot x^{-\frac{r}{2}}$ 合并 $x$ 的指数： $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot C_6^r\cdot x^{6-r-\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot C_6^r\cdot x^{6-\frac{3}{2}r}$

第三步：确定常数项 令 $x$ 的指数为 $0$： $6-\frac{3}{2}r=0⟹\frac{3}{2}r=6⟹r=4$

第四步：代入计算 常数项为第 $r+1=5$ 项，即 $T_5$： $T_5=(-1{)}^4\cdot C_6^4=1\cdot C_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$

故填入答案为：15。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用；幂的运算性质 $(x^a{)}^b=x^{ab}$ 和 $x^a\cdot x^b=x^{a+b}$。

核心方法：“指数归零法”。处理常数项或特定次数项的问题，统一化为 $x$ 的幂形式是解决此类问题的标准程序。

避坑指南：- 注意二项式中的负号，必须包含在 $b$ 项中，随 $r$ 次幂变化。 - 分清楚 $T_{r+1}$ 是第几项。当 $r=4$ 时，它是展开式的第 5 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合数的计算、二项式系数的最大值。

结论推广：若要求展开式的系数和，令 $x=1$ 即可，本题系数和为 $(1-1{)}^6=0$。

方法推广：若括号内是三项式，通常先合并两项看作一项，或使用多项式定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-天津卷-11 填-二项式定理
• 2026-北京卷-04 单-二项式定理
• 2026-上海卷-06 填-二项式定理