2026-上海卷-06 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的应用。核心在于写出二项展开式的通项公式，通过合并同底数幂得到指定项的指数方程，从而求得对应的项系数。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）在 $(x^2+x{)}^5$ 的二项展开式中， $x^7$ 项的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 表示出第 $r+1$ 项。
2. 化简指数幂：将 $x^2$ 和 $x$ 的指数项进行合并，使之转化为 $x$ 的单多项式次幂形式。
3. 建立方程求 $r$：令 $x$ 的指数等于 7，解出满足条件的非负整数 $r$。
4. 计算系数：将 $r$ 的值代入前面的组合数系数中，求出最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

10

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理， $(x^2+x{)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_5^r(x^2{)}^{5-r}\cdot x^r(r=0,1,2,3,4,5)$ 将指数项进行化简合并： $T_{r+1}={\text{C}}_5^r{x}^{2(5-r)}\cdot x^r$ $T_{r+1}={\text{C}}_5^r{x}^{10-2r+r}$ $T_{r+1}={\text{C}}_5^r{x}^{10-r}$

要求 $x^7$ 项的系数，令 $x$ 的指数为 7： $10-r=7$ 解得： $r=3$ 将 $r=3$ 代入系数部分 ${\text{C}}_5^r$ 中，得 $x^7$ 项的系数为： ${\text{C}}_5^3={\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

故答案为 10。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式及其指数合并（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）。
2. 核心方法：方程未知项匹配法。
3. 避坑指南：幂的乘方运算错误。在处理 $(x^2{)}^{5-r}$ 时容易漏乘系数，误算成 $x^{5-r}$ 或 $x^{7-r}$，需严格遵守 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 运算法则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查高中代数中的经典二项式展开，是高考上海卷中稳拿分的基础知识必考题。
2. 结论推广：对于形如 $(x^a+x^b{)}^n$ 的二项展开式，若要求 $x^m$ 项的系数，其本质是求解丢番图方程（Diophantine Equation）： $a(n-r)+br=m⟹(b-a)r=m-an$ 当方程在 $r\in [0,n]\cap \mathbb{Z}$ 内有唯一解时，对应系数即为 ${\text{C}}_n^r$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷理-07
• 2012年浙江卷理-11
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理