2013-天津卷理-11 填-极坐标互化

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及极坐标系。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知圆的极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$，圆心为 $C$，点 $P$ 的极坐标为 $(4,\frac{\pi }{3})$，则 $|CP|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化圆的方程：利用公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 以及 ${\rho }^2=x^2+y^2$，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，进而确定圆心 $C$ 的坐标。
2. 转化点 $P$ 的坐标：将点 $P$ 的极坐标 $({\rho }_P,{\theta }_P)$ 转化为直角坐标 $(x_P,y_P)$。
3. 计算距离：利用直角坐标系下两点间的距离公式 $d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ 求得 $|CP|$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定圆心 $C$ 的坐标 已知圆的方程 $\rho =4\cos \theta$。 等式两边同乘 $\rho$ 得：${\rho }^2=4\rho \cos \theta$。 由坐标互化公式代入得：$x^2+y^2=4x$。 整理为标准方程：$(x-2{)}^2+y^2=4$。 由此可知，圆心 $C$ 的直角坐标为 $(2,0)$。

第二步：确定点 $P$ 的直角坐标 点 $P$ 的极坐标为 $(4,\frac{\pi }{3})$。 则直角坐标为： $x_P=4\cos \frac{\pi }{3}=4\times \frac{1}{2}=2$ $y_P=4\sin \frac{\pi }{3}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ 所以点 $P$ 的直角坐标为 $(2,2\sqrt{3})$。

第三步：计算 $|CP|$ 利用两点间距离公式： $|CP|=\sqrt{(2-2{)}^2+(2\sqrt{3}-0{)}^2}$ $|CP|=\sqrt{0^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{3}$

故填入答案为：$2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标向直角坐标转换的三个核心公式。

核心方法：“先化后算”。在处理极坐标中的距离、位置关系时，统一化为直角坐标系是最稳妥且通用的策略。

避坑指南：- 圆的极坐标方程 $\rho =2a\cos \theta$ 表示的是圆心在 $(a,0)$，半径为 $a$ 的圆。 - 注意特殊角的三角函数值，如 $\sin \frac{\pi }{3}$ 和 $\cos \frac{\pi }{3}$ 不要记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标系下直线方程、极径与极角的限制范围。

结论推广：见详细解析。

方法推广：也可以直接在极坐标系下使用余弦定理求两点距离 $d^2={\rho }_1^2+{\rho }_2^2-2{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$，但需先求出圆心 $C$ 的极坐标 $(2,0)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程