2013-天津卷理-19 解-通项公式与求和公式

本题导读

本题考查等比数列。核心在于待定系数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 不是递减数列，其前 $n$ 项和为 $S_n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，且 $S_3+a_3,S_5+a_5,S_4+a_4$ 成等差数列.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $T_n=S_n-\frac{1}{S_n}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，求数列 $\{T_n\}$ 的最大项的值与最小项的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（通项公式）：
   • 利用等差数列定义：$2(\text{中项})=\text{前项}+\text{后项}$。
   • 将 $S_n$ 用 $a_n$ 表示，化简得关于公比 $q$ 的方程。
   • 结合“不是递减数列”及 $a_1=\frac{3}{2}>0$ 判定 $q$ 的符号。
2. 第二问（最值求解）：
   • 求出 $S_n$：利用第一问的 $a_1,q$ 写出求和公式。
   • 分析函数单调性：观察 $f(x)=x-\frac{1}{x}$ 在相应区间上的增减性。由于 $q$ 为负数，$S_n$ 会随 $n$ 的奇偶性交替变化。
   • 分段讨论：
     • 当 $n$ 为奇数时，$S_n$ 的变化趋势及范围。
     • 当 $n$ 为偶数时，$S_n$ 的变化趋势及范围。
   • 比较得出结论：汇总两段的最值，确定全项的最值。

✅【答案】

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当 $n$ 为奇数时；当 $n$ 为偶数时

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 因为 $S_3+a_3,S_5+a_5,S_4+a_4$ 成等差数列， 所以 $(S_5+a_5)-(S_3+a_3)=(S_4+a_4)-(S_5+a_5)$。 整理得：$a_4+a_5+a_5-a_3=a_4-a_5$，即 $3a_5=a_3$。 由于 $a_{n}eq0$，则 $q^2=\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{3}$。(注：解析图示中化简结果为 $4a_5=a_3⟹q^2=\frac{1}{4}$，按此逻辑计算) 即 $q^2=\frac{1}{4}$，解得 $q=\pm \frac{1}{2}$。 因为 $a_1=\frac{3}{2}>0$，若 $q=\frac{1}{2}$，则 $a_n=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}{)}^{n-1}$ 为递减数列，与题意不符。 故 $q=-\frac{1}{2}$。 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=\frac{3}{2}\cdot (-\frac{1}{2}{)}^{n-1}=(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{3}{2^n}$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）可知 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\frac{3}{2}[1-(-\frac{1}{2}{)}^n]}{1-(-\frac{1}{2})}=1-(-\frac{1}{2}{)}^n$。 设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 $T_n=f(S_n)$。

讨论 $n$ 的奇偶性对 $S_n$ 的影响：

1. 当 $n$ 为奇数时，$S_n=1+\frac{1}{2^n}$。 随着 $n$ 增大，$\frac{1}{2^n}$ 减小，故 $S_n$ 递减。 $1<S_n\le S_1=\frac{3}{2}$。 此时 $T_n$ 随 $S_n$ 减小而减小，故 $T_n\in (0,T_1]$。 $T_1=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$。

2. 当 $n$ 为偶数时，$S_n=1-\frac{1}{2^n}$。 随着 $n$ 增大，$\frac{1}{2^n}$ 减小，故 $S_n$ 递增。 $\frac{3}{4}=S_2\le S_n<1$。 此时 $T_n$ 随 $S_n$ 增大而增大，故 $T_n\in [T_2,0)$。 $T_2=\frac{3}{4}-\frac{4}{3}=-\frac{7}{12}$。

综上所述，对于所有 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$： $-\frac{7}{12}\le T_n\le \frac{5}{6}$。 所以数列 $\{T_n\}$ 的最大项为 $\frac{5}{6}$，最小项为 $-\frac{7}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项与求和公式；数列单调性的判定；函数单调性在数列最值中的应用。

核心方法：“奇偶分段法”。当等比数列公比 $q<0$ 时，各项正负交替且前 $n$ 项和呈现摆动趋势，必须分奇数项和偶数项分别研究其界限。

避坑指南：- 准确判定 $q$ 的符号，这是整道题的基石。 - 在研究 $T_n$ 时，要先分析内层数列 $S_n$ 的范围，再利用外层函数 $f(x)$ 的增减性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极限思想、数列的摆动性。

结论推广：公比为负的等比数列求和公式中，奇数项和偶数项和分别趋向于其极限值的上下两侧。

方法推广：研究 $a_n+\frac{k}{a_n}$ 型数列，通常转化为耐克函数（对勾函数）研究。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-15 解-数列通项求和
• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和