2013-安徽卷理-08 单-函数图象

本题导读

本题考查函数的图象与性质，以及函数的图象。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示，在区间 $[a,b]$ 上可找到 $n(n\ge 2)$ 个不同的数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，使得 $\frac{f(x_1)}{x_1}=\frac{f(x_2)}{x_2}=\cdots =\frac{f(x_n)}{x_n}$，则 $n$ 的取值范围为()

A. $\{2,3\}$　　　　B. $\{2,3,4\}$　　　　C. $\{3,4\}$　　　　D. $\{3,4,5\}$

🔍【思路分析】

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1. 理解代数式的几何意义： 表达式 $\frac{f(x_i)}{x_i}$ 可以看作是 $\frac{f(x_i)-0}{x_i-0}$，其几何意义是函数图象上的点 $(x_i,f(x_i))$ 与原点 $(0,0)$ 连线的斜率。
2. 转化问题： 题目要求找到 $n$ 个不同的 $x_i$ 使这些斜率相等，等价于寻找过原点的直线 $y=kx$ 与函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象有多少个交点。
3. 动态观察： 想象一条绕原点旋转的直线，观察其与图象交点个数的变化规律。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何转化 设 $k=\frac{f(x_i)}{x_i}$，则直线方程为 $y=kx$。 题目要求 $n$ 个不同的 $x_i$，即直线 $y=kx$ 与函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内有 $n$ 个交点。

第二步：观察图象交点情况 观察给出的函数图象（呈现为两个波峰一个波谷的形状）：

• 当直线斜率较小或较大时，可能与图象只有 1 个 交点（不符合 $n\ge 2$）。
• 当直线穿过图象的第一个波峰下方且在第二个波峰上方时，会有 2 个 交点。
• 当直线位置适中，穿过第一个波峰的下降段和第二个波峰的上升段时，会有 3 个 交点。
• 特别地，如果直线与图象相切或处于特定的起伏位置，根据图象波动的剧烈程度，交点个数可能达到 4 个（例如穿过两个波峰的侧沿）。

第三步：结合选项判断 由图象可见，图象在 $[a,b]$ 段有两次明显的波峰。

• 过原点的直线与曲线相交，最少可以有 2 个 交点（如切于某处或穿过波峰的一侧）。
• 直线稍微旋转，可以同时穿过两个波峰的起伏部分，产生 3 个 交点。
• 考虑到图象的复杂性和端点位置，理论上如果直线位置极佳，可以与两个波峰的四个侧面相交，产生 4 个 交点。

因此，$n$ 的取值范围可能是 $\{2,3,4\}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：斜率模型 $\frac{y}{x}$ 是高考解析几何与函数综合题中的常客。

核心方法：“旋转扫描法”。处理此类问题时，脑海中应有一条动态的直线，去“扫描”曲线的起伏。

避坑指南：很多考生容易漏掉 $n=4$ 的情况。注意图象中有两个波峰，直线只要倾斜度合适，完全可以在每个波峰的上升和下降段各产生一个交点，总计 4 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与切线斜率、函数的零点存在性定理。

结论推广：$\frac{f(x)-k}{x-h}$ 表示点与定点 $(h,k)$ 连线的斜率。

方法推广：涉及方程根的个数问题，尽可能转化为函数图象的交点问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象