2013-安徽卷理-21 解-独立性、互斥性与概率计算

本题导读

本题考查独立性、互斥性与概率计算。核心在于独立事件概率公式、组合数学计数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（$n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $X$.

(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

(2)求使 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（学生甲被抽中的概率）：
   • 设事件 $A$ 为“甲收到李老师的信息”，事件 $B$ 为“甲收到张老师的信息”。
   • 李、张二位老师发放信息是相互独立的，故 $A$ 与 $B$ 独立，$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也独立。
   • 每次抽中甲的概率为 $P(A)=P(B)=\frac{C_{n-1}^{k-1}}{C_n^k}=\frac{k}{n}$。
   • 利用对立事件计算：甲至少收到一个老师信息的概率 $P=1-P(\bar{A})P(\bar{B})$。
2. 第二问（概率最值问题）：
   • 建立模型：$X=m$ 表示收到通知的总人数。这意味着：两老师均发给的人数为 $2k-m$，仅收到李老师信息的为 $m-k$，仅收到张老师信息的为 $m-k$。
   • 计数求解：利用组合数表示基本事件数，求出 $P(X=m)$ 的表达式。
   • 求最值：研究 $P(X=m)$ 随 $m$ 的变化趋势。常用的方法是比较相邻项 $P(X=m)$ 与 $P(X=m+1)$ 的大小，通过不等式解出 $m$ 的取值范围，从而确定函数先增后减的转折点。

✅【答案】

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(1) 学生甲收到李老师或张老师所发通知的概率 $P(A\cup B)=\frac{2k}{n}-\frac{k^2}{n^2}$

(2) 使 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m=2k-\lfloor \frac{(k+1{)}^2}{n+2}\rfloor$（$q\notin \mathbf{Z}$）；$q=\frac{(k+1{)}^2}{n+2}\in \mathbf{Z}$ 时，$m=2k-q+1$ 或 $m=2k-q$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设事件 $A$ 为“学生甲收到李老师所发信息”，事件 $B$ 为“学生甲收到张老师所发信息”。 由题意 $A,B$ 相互独立，则 $\bar{A},\bar{B}$ 也相互独立。 从 $n$ 位学生中随机发给 $k$ 位，甲被选中的概率为 $P(A)=P(B)=\frac{k}{n}$。 则甲收不到信息的概率为 $P(\bar{A})=P(\bar{B})=1-\frac{k}{n}$。 学生甲收到活动通知信息的概率 $P=1-P(\bar{A})P(\bar{B})=1-{\left(1-\frac{k}{n}\right)}^2=\frac{2kn-k^2}{n^2}$。

（Ⅱ）解： $X$ 的可能取值 $m$ 满足 $k\le m\le \min (2k,n)$。 李老师和张老师各自独立分发信息的总基本事件数为 $(C_n^k{)}^2$。 对于事件 $\{X=m\}$，由乘法原理知其包含的基本事件数为： $C_n^k\cdot C_k^{2k-m}\cdot C_{n-k}^{m-k}$ （解释：李老师先选 $k$ 人；张老师发出的 $k$ 封信中，有 $2k-m$ 封发给了李老师已选的人，剩下的 $m-k$ 封发给了李老师未选的人）。 此时 $P(X=m)=\frac{C_n^k\cdot C_k^{2k-m}\cdot C_{n-k}^{m-k}}{(C_n^k{)}^2}=\frac{C_k^{2k-m}\cdot C_{n-k}^{m-k}}{C_n^k}=\frac{C_k^{m-k}\cdot C_{n-k}^{m-k}}{C_n^k}$。

比较 $P(X=m)$ 与 $P(X=m+1)$： $\frac{P(X=m+1)}{P(X=m)}=\frac{C_k^{m+1-k}{C}_{n-k}^{m+1-k}}{C_k^{m-k}{C}_{n-k}^{m-k}}=\frac{(2k-m)(n-m)}{(m+1-k{)}^2}$ 令 $\frac{P(X=m+1)}{P(X=m)}\ge 1$，即 $(2k-m)(n-m)\ge (m+1-k{)}^2$。 化简整理得：$m\le 2k-\frac{(k+1{)}^2}{n+2}$。

记 $m_0=2k-\frac{(k+1{)}^2}{n+2}$：

1. 若 $m_0$ 不是整数，则 $P(X=m)$ 在 $m=[m_0]$ 处取得最大值（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）。
2. 若 $m_0$ 是整数，则 $P(X=m)$ 在 $m=m_0$ 和 $m=m_0+1$ 处取得最大值（此时两项相等）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的组合建模；离散分布单调性的商值判定法。

核心方法：“相邻项比较法”。当概率表达式含有阶乘或组合数时，通过 $\frac{P(m+1)}{P(m)}$ 与 $1$ 的关系来判定函数增减性是标准且唯一的快捷路径。

避坑指南：第二问中 $X=m$ 的组合数构造是难点。要理解“收到李或张”的学生总数是由“只收李”、“只收张”和“李张都收”三部分组成的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数的最大值、期望与概率最大项的关系。

结论推广：此模型实际上是超几何分布的一个变体。

方法推广：涉及二项分布或超几何分布求众数（最大概率项）时，均可使用此判定公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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