2013-广东卷理-17 解-茎叶图

本题导读

本题考查描述性统计。核心在于茎叶图数据读取法、样本估计总体法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

(1)根据茎叶图计算样本均值；

(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？

(3)从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（均值计算）： 从茎叶图读取 6 个样本数据：$17,19,20,21,25,30$。代入算术平均数公式 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$ 求解。
2. 第二问（总体推断）： 利用样本中优秀工人的比例来估计总体。先找出样本中大于均值的个数，计算比例 $\frac{k}{6}$，再乘以总人数 12。
3. 第三问（概率计算）： 这是一个古典概型问题。总情况数是从 12 人中选 2 人的组合数 $C_{12}^2$。目标情况是 1 名优秀（从 4 人中选）和 1 名非优秀（从 $12-4=8$ 人中选），利用分步乘法计数原理计算。

✅【答案】

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即恰有 1 名优秀工人的概率为 $\frac{16}{33}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由茎叶图可知，样本中的 6 个数据分别为：$17,19,20,21,25,30$。 样本均值为： $\bar{x}=\frac{17+19+20+21+25+30}{6}=\frac{132}{6}=22$

（Ⅱ）解： 在抽取的样本中，加工零件个数大于均值 $22$ 的有 $25$ 和 $30$，共 $2$ 人。 样本中优秀工人的比例为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。 由此推断，该车间 $12$ 名工人中优秀工人的人数为： $12\times \frac{1}{3}=4\text{（名）}$

（Ⅲ）解： 由（Ⅱ）知，12 名工人中有 4 名优秀工人，则有 $12-4=8$ 名非优秀工人。 从 12 人中任取 2 人的基本事件总数为 $C_{12}^2=\frac{12\times 11}{2}=66$。 设“恰有 1 名优秀工人”为事件 $A$。 事件 $A$ 包含的基本事件数为：$C_4^1\cdot C_8^1=4\times 8=32$。 所以，$P(A)=\frac{C_4^1\cdot C_8^1}{C_{12}^2}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$。 即恰有 1 名优秀工人的概率为 $\frac{16}{33}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：茎叶图的读取、样本估计总体、古典概型概率计算。

核心方法：“样本推总体”。在统计题中，如果没有给出总体的具体分布，默认使用样本比例或均值作为总体的估计。

避坑指南：- 茎叶图读取时不要漏掉“茎”代表的十位数。 - 第三问计算概率时，注意分母是总人数 12 的组合，而非样本量 6 的组合。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中位数、众数、方差在茎叶图中的观察。

结论推广：见详细解析。

方法推广：超几何分布。本题第三问实际上符合超几何分布模型 $X\sim H(12,4,2)$，求 $P(X=1)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-06 单-茎叶图
• 2014-新课标II卷文-19 解-茎叶图
• 2013-重庆卷文-06 单-茎叶图频率