2013-新课标I卷文-14 填-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}1⩽x⩽3,\\ -1⩽x-y⩽0,\end{array}$ 则 $z=2x-y$ 的最大值为　　　.

🔍【思路分析】

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1. 由 $-1⩽x-y⩽0$ 得 $x⩽y⩽x+1$。
2. $z=2x-y$，$y$ 最小时 $z$ 最大；由 $y⩾x$ 得 $z⩽2x-x=x⩽3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件即 $1⩽x⩽3,x⩽y⩽x+1.$ 由 $y⩾x$ 得 $z=2x-y⩽2x-x=x⩽3,$ 当且仅当 $y=x$ 且 $x=3$ 时取到等号，即点 $(x,y)=(3,3)$ 在可行域内（满足 $3⩽3⩽4$）。 故 $z_{\max }=2\times 3-3=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：简单的线性规划

核心方法：截距法（或不等式放缩）确定最优解

避坑指南：$z=2x-y$ 中 $y$ 的系数为负，应在 $y$ 最小处取最大；直接由 $y⩾x$ 放缩更稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求目标函数最值。

结论推广：线性目标函数在可行域的顶点（或边界）处取得最值。

方法推广：线性规划两步：画可行域 → 平移目标直线看截距定最优解；也可用不等式放缩直接推。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-11 单-线性规划
• 2015-新课标I卷文-15 填-线性规划
• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示