2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积

本题导读

本题考查球的截面性质，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知 $H$ 是球 $O$ 的直径 $AB$ 上一点，$AH:HB=1:2$，$AB\perp$ 平面 $\alpha$，$H$ 为垂足，平面 $\alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\pi$，则球 $O$ 的表面积为　　　.

🔍【思路分析】

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1. 设半径为 $R$，则 $AB=2R$，$AH=\frac{1}{3}AB=\frac{2R}{3}$，球心距 $OH=\left|R-\frac{2R}{3}\right|=\frac{R}{3}$。
2. 截面圆半径 $r=1$，由 $r^2=R^2-O{H}^2$ 求 $R^2$，再算表面积。

✅【答案】

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$\frac{9\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$，则直径 $AB=2R$。由 $AH:HB=1:2$ 得 $AH=\frac{1}{3}AB=\frac{2R}{3},$ 故球心 $O$ 到截面圆的距离 $OH=\left|AH-AO\right|=\left|\frac{2R}{3}-R\right|=\frac{R}{3}.$ 截面面积为 $\pi$，故截面圆半径 $r=1$。由 $r^2+O{H}^2=R^2$： $1+\frac{R^2}{9}=R^2⟹\frac{8R^2}{9}=1⟹R^2=\frac{9}{8}.$ 所以球 $O$ 的表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{9}{8}=\frac{9\pi }{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面性质

核心方法：球心距—截面圆半径—球半径的勾股关系

避坑指南：球心距是 $OH=|AH-AO|$，由 $AH:HB=1:2$ 得 $AH=\frac{2R}{3}$；别把 $AH$ 直接当球心距。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的截面与表面积。

结论推广：$r^2+d^2=R^2$，其中 $d$ 为球心到截面的距离。

方法推广：球截面题固定流程：设 $R$ → 求球心距 $d$ → 用勾股求 $r$ 或 $R$ → 代表面积（体积）公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积