2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查圆的切线的性质。核心在于等角转化证等腰、斜边中线/直径定直角求外接圆半径的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，直线 $AB$ 为圆的切线，切点为 $B$，点 $C$ 在圆上，$\angle ABC$ 的角平分线 $BE$ 交圆于点 $E$，$DB$ 垂直 $BE$ 交圆于 $D$.

(1)证明：$DB=DC$；

(2)设圆的半径为 $1$，$BC=\sqrt{3}$，延长 $CE$ 交 $AB$ 于点 $F$，求 $△BCF$ 外接圆的半径.

🔍【思路分析】

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1. （1）弦切角 $\angle ABC=\frac{1}{2}$ 弧 $BC$，由 $BC=\sqrt{3}$、$r=1$ 得弧 $BC=120^{\circ }$，故 $\angle ABC=60^{\circ }$；$BE$ 平分得 $\angle CBE=30^{\circ }$、$EB=EC$。
2. $\angle DBE=90^{\circ }\Rightarrow DE$ 为直径 $\Rightarrow D$ 为弧 $BC$ 中点 $\Rightarrow DB=DC$。
3. （2）$\angle CBF=60^{\circ }$、$\angle BCF=\angle BCE=30^{\circ }\Rightarrow \angle BFC=90^{\circ }\Rightarrow R=\frac{BC}{2}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由弦切角定理，$\angle ABC$ 等于弦 $BC$ 所对弧 $BC$ 上的圆周角。因为 $BC=\sqrt{3}$、圆的半径 $r=1$，设圆心角 $\angle BOC$，由 $BC=2r\sin \frac{\angle BOC}{2}=\sqrt{3}=2\sin \frac{\angle BOC}{2}$ 得 $\angle BOC=120^{\circ }$，故弧 $BC=120^{\circ }$，从而 $\angle ABC=\frac{1}{2}\times 120^{\circ }=60^{\circ }.$ 因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle CBE=\angle ABE=30^{\circ }$。 由 $\angle CBE=30^{\circ }$ 得弧 $CE=60^{\circ }$；由弦切角 $\angle ABE=30^{\circ }$ 得弧 $BE=60^{\circ }$，故弧 $BE=$ 弧 $EC$，即 $E$ 为弧 $BC$ 的中点。 又 $\angle DBE=90^{\circ }$，由圆周角定理的推论知 $DE$ 为圆的直径，故 $D$ 为弧 $BC$（不含 $E$ 的那一段）的中点，即弧 $BD=$ 弧 $DC$。 等弧对等弦，所以 $DB=DC$。

（2） 由（1）知 $\angle ABC=60^{\circ }$，而 $F$ 在射线 $BA$ 上，故 $\angle CBF=\angle CBA=60^{\circ }.$ 又 $F$ 在射线 $CE$ 上，故 $\angle BCF=\angle BCE$。由（1）知弧 $BE=60^{\circ }$，故 $\angle BCE=\frac{1}{2}\times 60^{\circ }=30^{\circ },$ 即 $\angle BCF=30^{\circ }$。于是在 $△BCF$ 中， $\angle BFC=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ },$ 所以 $△BCF$ 为直角三角形，$BC$ 为斜边。 故 $△BCF$ 外接圆的直径即为 $BC=\sqrt{3}$，半径 $R=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线的性质、圆周角定理

核心方法：等角转化证等腰、转化为直角三角形求外接圆半径

避坑指南：（1）中关键两步：由弦切角定理与角平分线得 $EB=EC$，由 $\angle DBE=90^{\circ }$ 得 $DE$ 为直径，进而 $D$ 为弧 $BC$ 中点；（2）证出 $\angle BFC=90^{\circ }$ 后，外接圆半径即 $\frac{BC}{2}$，别再去列复杂正弦定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲（选修 4-1）。

结论推广：弦切角等于它所夹弧上的圆周角；直径所对的圆周角为直角（反之 $90^{\circ }$ 的圆周角所对的弦为直径）。

方法推广：圆中证明”线段相等”的两条主路：等弧对等弦、等角对等边。

🔗【关联脉络】

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