2013-新课标I卷理-14 填-Sn与an

本题导读

本题考查数列的性质，以及与的关系。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{2}{3}{a}_n+\frac{1}{3}$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求首项 $a_1$：利用 $S_1=a_1$，将 $n=1$ 代入已知等式求解。
2. 构造递推关系：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$)。
   • 写出 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 的表达式。
   • 两式相减消去 $S_n$，得到关于 $a_n$ 和 $a_{n-1}$ 的递推式。
3. 判定数列类型：通过递推式判断数列是否为等比数列，并确定公比。
4. 写出通项公式：结合首项和公比，利用等比数列通项公式求解，最后验证 $n=1$ 是否符合。

✅【答案】

点击查看答案

$(-2{)}^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解首项 $a_1$ 当 $n=1$ 时，$S_1=a_1$。 代入已知公式 $S_1=\frac{2}{3}{a}_1+\frac{1}{3}$， 得 $a_1=\frac{2}{3}{a}_1+\frac{1}{3}⟹\frac{1}{3}{a}_1=\frac{1}{3}⟹a_1=1$。

第二步：利用 $S_n$ 递推求 $a_n$ ($n\ge 2$) 已知 $S_n=\frac{2}{3}{a}_n+\frac{1}{3}$ ① 则 $S_{n-1}=\frac{2}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{3}$ ② ① - ② 得：$S_n-S_{n-1}=\frac{2}{3}{a}_n-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$。 由于 $n\ge 2$ 时，$S_n-S_{n-1}=a_n$， 所以 $a_n=\frac{2}{3}{a}_n-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$。

第三步：化简递推式 将上式移项整理： $\frac{1}{3}{a}_n=-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$ 即 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=-2$ ($n\ge 2$)。 由此可知，数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_1=1$ 为首项，$-2$ 为公比的等比数列。

第四步：得出通项公式 根据等比数列通项公式 $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$： $a_n=1\cdot (-2{)}^{n-1}=(-2{)}^{n-1}$。 验证 $n=1$ 时，$a_1=(-2{)}^0=1$，符合。

故答案为：$(-2{)}^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 是处理 $S_n$ 与 $a_n$ 混合关系题目的通用“钥匙”。

核心方法：构造法。通过下标下移一位并相减的操作，通常可以将求和公式转化为通项的递推公式。

避坑指南：- 必须先求出 $a_1$，不能直接假设数列从第一项起就满足某种规律。 - 注意计算过程中的符号变化，尤其是公比为负数时。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的判定方法、特征根法处理数列递推。

结论推广：若 $S_n=p{a}_n+q$，当 $peq1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 通常为等比数列（或从第二项起为等比数列）。

方法推广：对于更复杂的 $S_n=f(n,a_n)$，可以尝试利用辅助数列（如 $S_n-k$）进行转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和