2013-新课标I卷理-18 解-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面垂直。核心在于几何证明法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$CA=CB$，$AB=A{A}_1$，$\angle BA{A}_1=60^{\circ }$.

(1)证明：$AB\perp A_{1}C$；

(2)若平面 $ABC\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$，$AB=CB=2$，求直线 $A_{1}C$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明）：
   • 目标是证明线线垂直 $AB\perp A_{1}C$。通常考虑证明 $AB$ 垂直于包含 $A_{1}C$ 的某个平面。
   • 取 $AB$ 中点 $O$，利用 $CA=CB$ 得到 $CO\perp AB$。
   • 利用 $AB=A{A}_1$ 且 $\angle BA{A}_1=60^{\circ }$ 判定 $△A{A}_{1}B$ 为等边三角形，得到 $A_{1}O\perp AB$。
   • 从而 $AB\perp$ 平面 $O{A}_{1}C$，进而推出 $AB\perp A_{1}C$。
2. 第二问（计算）：
   • 题目给出面面垂直条件，适合建立空间直角坐标系。
   • 以 $O$ 为原点，$OA$ 方向为 $x$ 轴，$O{A}_1$ 方向为 $y$ 轴，$OC$ 方向为 $z$ 轴建立坐标系。
   • 确定各关键点坐标，求出向量 $\overrightarrow{A_{1}C}$ 和平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的法向量 $\vec{n}$。
   • 利用公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{A_{1}C}⟩|$ 计算线面角。

✅【答案】

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$AB\perp A_{1}C$；$\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 取 $AB$ 的中点 $O$，连接 $OC,O{A}_1$。 因为 $CA=CB$，所以 $OC\perp AB$。 在 $△A{A}_{1}B$ 中，$AB=A{A}_1$ 且 $\angle BA{A}_1=60^{\circ }$， 所以 $△A{A}_{1}B$ 为等边三角形，故 $A_{1}O\perp AB$。 由于 $OC\cap A_{1}O=O$，且 $OC,A_{1}O\subset$ 平面 $O{A}_{1}C$， 所以 $AB\perp$ 平面 $O{A}_{1}C$。 又 $A_{1}C\subset$ 平面 $O{A}_{1}C$，故 $AB\perp A_{1}C$。

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知 $OC\perp AB,O{A}_1\perp AB$。 又平面 $ABC\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$，且其交线为 $AB$， 所以 $OC\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$。 由此可知 $OA,O{A}_1,OC$ 两两垂直。

以 $O$ 为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$ 方向为 $x$ 轴正方向，$|\overrightarrow{OA}|$ 为单位长建立空间直角坐标系。

已知 $AB=CB=2$，则 $OA=1,OC=\sqrt{C{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 等边 $△A{A}_{1}B$ 中，高 $O{A}_1=\sqrt{3}$。 则各点坐标为：$A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,\sqrt{3}),A_1(0,\sqrt{3},0)$。 由于 $\overrightarrow{A{A}_1}=(-1,\sqrt{3},0)$，三棱柱中 $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}=(-1,\sqrt{3},0)$。 $\overrightarrow{BC}=(1,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(0,-\sqrt{3},\sqrt{3})$。

设 $\vec{n}=(x,y,z)$ 为平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的法向量，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}z=0\\ -x+\sqrt{3}y=0\end{array}$ 令 $x=\sqrt{3}$，得 $y=1,z=-1$，故 $\vec{n}=(\sqrt{3},1,-1)$。

设直线 $A_{1}C$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{A_{1}C}|}=\frac{|0-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1+1}\cdot \sqrt{0+3+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

所以直线 $A_{1}C$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定；空间向量处理线面角。

核心方法：建系坐标法。在含有面面垂直条件的立体几何题中，建系往往比纯几何找垂足更具操作性。

避坑指南：- 建立坐标系前必须确认三轴两两垂直。 - 线面角的正弦值对应的是直线方向向量与平面法向量余弦值的绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到平面的距离向量公式、二面角的向量求法。

结论推广：在斜三棱柱中，寻找垂直关系通常需要取中点或利用射影。

方法推广：若要求二面角，则需先求出两个平面的法向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直