2013-新课标II卷文-03 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1⩾0,\\ x+y-1⩾0,\\ x⩽3,\end{array}$ 则 $z=2x-3y$ 的最小值是()

A. $-7$　　　　　　　B. $-6$　　　　　　　C. $-5$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

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1. 三条边界：$y=x+1$（下方）、$y=1-x$（上方）、$x⩽3$（左方），可行域顶点的交点为 $(0,1)$、$(3,-2)$、$(3,4)$。
2. 目标函数 $z=2x-3y$，等值线斜率 $\frac{2}{3}$；纵截距 $-\frac{z}{3}$ 最大时 $z$ 最小。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

约束条件对应的三条直线为 $x-y+1=0$、$x+y-1=0$、$x=3$。 两两求交得可行域的顶点：

• $x-y+1=0$ 与 $x+y-1=0$ 交于 $(0,1)$；
• $x+y-1=0$ 与 $x=3$ 交于 $(3,-2)$；
• $x-y+1=0$ 与 $x=3$ 交于 $(3,4)$。 把 $z=2x-3y$ 变形为 $y=\frac{2}{3}x-\frac{z}{3},$ 纵截距 $-\frac{z}{3}$ 达到最大值时 $z$ 取最小值。 分别代入三个顶点：
• $(0,1)$：$z=2\times 0-3\times 1=-3$；
• $(3,-2)$：$z=2\times 3-3\times (-2)=12$；
• $(3,4)$：$z=2\times 3-3\times 4=-6$。 比较得 $z_{\min }=-6$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划（可行域与目标函数最值）

核心方法：平移直线求截距极值（“斜率定方向、截距定大小”）

避坑指南：把 $z=2x-3y$ 化成 $y=\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$，纵截距为 $-\frac{z}{3}$：纵截距最大时 $z$ 最小，符号方向别搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值（全国卷常考）。

结论推广：线性目标函数在可行域（凸多边形）上的最值必在顶点处取到。

方法推广：线性规划三步：画边界定可行域 → 作目标函数的等值线 → 平移找最优顶点并回代。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-09 单-线性规划
• 2015-新课标II卷文-14 填-线性规划
• 2013年新课标Ⅱ理-9