2013-新课标II卷文-11 单-三次函数性质

本题导读

本题考查三次函数的图象与性质，以及函数的极值点与单调性。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$，下列结论中错误的是()

A. $\exists x_0\in \mathbf{R}$，$f(x_0)=0$

B. 函数 $y=f(x)$ 的图象是中心对称图形

C. 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，则 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,x_0)$ 单调递减

D. 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime }(x_0)=0$

🔍【思路分析】

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1. A：三次函数值域为 $\mathbf{R}$，必有零点，真。
2. B：三次函数图象关于对称中心中心对称，真。
3. C：取 $f(x)=x^3-3x$ 检验。
4. D：费马引理，真。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

A 项：$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 是三次函数，$x\to +\infty$ 时 $f\to +\infty$，$x\to -\infty$ 时 $f\to -\infty$，由连续性知必有实零点，故 A 正确。 B 项：三次函数图象关于其对称中心 $\left(-\frac{a}{3},f\left(-\frac{a}{3}\right)\right)$ 中心对称，故 B 正确。 D 项：由极值点的必要条件（费马引理）知 $f^{\prime }(x_0)=0$，故 D 正确。 C 项：举反例。取 $f(x)=x^3-3x$，则 $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，$x=1$ 是极小值点。但 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上先增后减，并非在整个 $(-\infty ,1)$ 上单调递减。故 C 错误。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的图象与性质

核心方法：逐项用导数与三次函数图象特征判断真假

避坑指南：三次函数必有实零点（$\exists x_0$ 使 $f(x_0)=0$）；图象关于对称中心成中心对称；但”极小值点左侧必单调递减”对三次函数不成立——例如 $f(x)=x^3-3x$ 的极小值点 $x=1$ 左侧 $(0,1)$ 上先增后减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数的图象与性质（全国卷常考）。

结论推广：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$（$a\ne 0$）的值域为 $\mathbf{R}$，故必有实零点；其图象关于对称中心 $\left(-\frac{b}{3a},f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ 中心对称。

方法推广：判断命题真假：能构造反例即假，能说清理由即真。三次函数的”增减区间”要用导数符号判断，不能凭极值点位置想当然。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2013年新课标Ⅱ理-11
• 2013年新课标Ⅱ理-10