2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算

本题导读

本题考查数量积，以及平面向量数量积的性质及运算。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 13. 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$E$ 为 $CD$ 的中点，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BD}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基底法：选取 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 作为基底。由于正方形相邻边垂直，其数量积为 $0$。将目标向量 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{BD}$ 分解后进行分配律运算。
2. 坐标法：以 $A$ 为原点，建立直角坐标系。写出各点坐标，利用坐标运算公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 直接求解。

✅【答案】

点击查看答案

2

✍【详细解析】

Abstract

解法一：基底分解法

在正方形 $ABCD$ 中，设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。 则 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=2$，且 $\vec{a}\perp \vec{b}⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

根据向量的加减法法则： $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

计算数量积： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BD}=(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})\cdot (\vec{b}-\vec{a})$ $=\vec{b}\cdot \vec{b}-\vec{b}\cdot \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{a}\cdot \vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}\cdot \vec{a}$ $=|\vec{b}{|}^2-0+0-\frac{1}{2}|\vec{a}{|}^2$ $=2^2-\frac{1}{2}\times 2^2$ $=4-2=2$。

解法二：坐标建系法

以 $A$ 为坐标原点 $(0,0)$，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$AD$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 则各点坐标为：$A(0,0)$，$B(2,0)$，$D(0,2)$，$C(2,2)$。 由 $E$ 为 $CD$ 中点，得 $E(1,2)$。

写出向量坐标： $\overrightarrow{AE}=(1,2)$ $\overrightarrow{BD}=(0-2,2-0)=(-2,2)$

利用坐标数量积公式： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BD}=1\times (-2)+2\times 2=-2+4=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的运算律；垂直向量的数量积特征；向量坐标运算。

核心方法：基底法逻辑清晰，适合几何性质明显的图形；坐标法计算直接，是处理此类平面几何向量问题的通用捷径。

避坑指南：使用坐标法时需注意向量终点与起点的减法顺序，如 $\overrightarrow{BD}$ 应为 $D$ 点坐标减去 $B$ 点坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量夹角公式、向量模长的计算。

结论推广：在矩形或直角梯形中，通过建立坐标系往往能显著降低向量运算的抽象程度。

方法推广：涉及中点、分点或垂直关系的向量数量积，应优先考虑将向量投影到互相垂直的轴上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积