2013-新课标II卷理-15 填-两角和的正切公式

本题导读

本题考查两角和的正切公式，以及三角函数图象与性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 15. 设 $\theta$ 为第二象限角，若 $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$，则 $\sin \theta +\cos \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解出 $\tan \theta$：利用两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$，将已知条件展开，建立关于 $\tan \theta$ 的方程。
2. 求 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$：
   • 方式一：利用 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 和 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 联立方程组。
   • 方式二：利用公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }$ 先求出 $\cos \theta$，再由 $\sin \theta =\tan \theta \cdot \cos \theta$ 求出 $\sin \theta$。
3. 符号判定：根据 $\theta$ 是第二象限角，可知 $\sin \theta >0$，$\cos \theta <0$。

✅【答案】

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$-\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\tan \theta$ 的值 由两角和的正切公式得： $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \theta +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \theta \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\tan \theta +1}{1-\tan \theta }=\frac{1}{2}$

交叉相乘得： $2\tan \theta +2=1-\tan \theta$ $3\tan \theta =-1⟹\tan \theta =-\frac{1}{3}$

第二步：求 $\cos \theta$ 与 $\sin \theta$ 因为 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1}{1+(-\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{1}{\frac{10}{9}}=\frac{9}{10}$。 由于 $\theta$ 是第二象限角，余弦值为负： $\cos \theta =-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

则 $\sin \theta =\tan \theta \cdot \cos \theta =\left(-\frac{1}{3}\right)\times \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

第三步：求和 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{2\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$。

故答案为：$-\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正切公式；同角三角函数关系的弦切转化。

核心方法：**“一弦化切”**的思想。对于已知 $\tan \theta$ 求 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 组合式的问题，常用单位圆定义或平方关系转化。

避坑指南：象限角的符号判定极易出错，必须在开方取值前明确角所在的象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式、万能公式。

结论推广：若已知 $\tan \theta =k$，则 $\sin \theta +\cos \theta =\pm \frac{k+1}{\sqrt{k^2+1}}$，正负号由象限决定。

方法推广：涉及 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 的齐次式（如 $\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }$），可以直接分子分母同除以 $\cos \theta$ 转化为 $\tan \theta$ 的表达式计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式