2013-江苏卷-13 填-坐标系中的距离公式

本题导读

本题考查坐标系中的距离公式，以及导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设定点 $A(a,a)$，$P$ 是函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 图象上的一个动点.若点 $P,A$ 之间的最短距离为 $2\sqrt{2}$，则满足条件的实数 $a$ 的所有值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建立距离模型： 设 $P(x,\frac{1}{x})$，则 $|PA{|}^2=(x-a{)}^2+(\frac{1}{x}-a{)}^2$。
2. 利用对称性： 由于点 $A$ 在直线 $y=x$ 上，反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 关于 $y=x$ 对称。最短距离的点 $P$ 可能在 $y=x$ 上，也可能对称地分布在 $y=x$ 两侧。
3. 导数寻优： 设 $f(x)=(x-a{)}^2+(\frac{1}{x}-a{)}^2$。求 $f^{\prime }(x)$ 并令其为 0。 $f^{\prime }(x)=2(x-a)+2(\frac{1}{x}-a)(-\frac{1}{x^2})=0$。 化简得：$x-a-\frac{1}{x^3}+\frac{a}{x^2}=0⟹x^4-a{x}^3+ax-1=0$。
4. 因式分解与讨论： $(x-1)(x+1)(x^2-ax+1)=0$。 因为 $x>0$，故 $x=1$ 或 $x^2-ax+1=0$。
   • 情况一：若最小值在 $x=1$ 处取得（此时 $P(1,1)$），代入距离公式求 $a$。
   • 情况二：若最小值在 $x^2-ax+1=0$ 的根处取得，代入判别式及距离要求求解。

✅【答案】

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$-1,\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(x,\frac{1}{x})$，则距离的平方为 $d^2=(x-a{)}^2+(\frac{1}{x}-a{)}^2$。 设 $g(x)=(x-a{)}^2+(\frac{1}{x}-a{)}^2$，则 $g^{\prime }(x)=2(x-a)-\frac{2}{x^2}(\frac{1}{x}-a)=\frac{2(x^4-a{x}^3+ax-1)}{x^3}$。 令 $g^{\prime }(x)=0$，得 $x^4-a{x}^3+ax-1=(x^2-1)(x^2-ax+1)=0$。 由于 $x>0$，解得 $x=1$ 或 $x^2-ax+1=0$。

1. 当 $x=1$ 是极小值点时： 此时 $P(1,1)$。最短距离 $d=\sqrt{(1-a{)}^2+(1-a{)}^2}=\sqrt{2}|1-a|=2\sqrt{2}$。 解得 $|1-a|=2$，即 $a=3$ 或 $a=-1$。

• 当 $a=3$ 时，$x^2-3x+1=0$ 的根为 $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。经检验，此时 $x=1$ 确实是极小值点（$g^{\prime \prime }(1)=2(4-3a+a)=8-4a<0$ 报错，需修正：$g^{\prime \prime }(1)=2(1+\frac{3}{x^4}-\frac{2a}{x^3}{)}_{x=1}=8-4a$。若 $a=3,g^{\prime \prime }(1)=-4$, $x=1$ 是极大值，不符。需重新讨论）。

修正讨论方向： 由 $(x^2-1)(x^2-ax+1)=0$：

• 若 $a\le 2$，方程 $x^2-ax+1=0$ 无实根或有重根 $x=1$。此时极小值点必为 $x=1$。 由 $\sqrt{2}|1-a|=2\sqrt{2}$ 得 $a=-1$（舍去 $a=3$）。
• 若 $a>2$，方程 $x^2-ax+1=0$ 有两根 $x_1,x_2$ 且 $x_1{x}_2=1$。 此时 $x=1$ 变为极大值点，极小值在 $x^2-ax+1=0$ 的根处取得。 设 $x$ 满足 $x^2-ax+1=0$，则 $a=x+\frac{1}{x}$。 代入 $d^2=(x-a{)}^2+(\frac{1}{x}-a{)}^2=(x-(x+\frac{1}{x}){)}^2+(\frac{1}{x}-(x+\frac{1}{x}){)}^2=(-\frac{1}{x}{)}^2+(-x{)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}$。 由 $d=2\sqrt{2}$ 得 $d^2=8$，即 $x^2+\frac{1}{x^2}=8$。 因为 $(x+\frac{1}{x}{)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=8+2=10$。 由于 $a=x+\frac{1}{x}$ 且 $a>2$，故 $a=\sqrt{10}$。

综上，满足条件的 $a$ 值为 $-1$ 或 $\sqrt{10}$。

故答案为：$-1,\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：求导后的方程 $x^4-a{x}^3+ax-1=0$ 的根的性质决定了函数的单调性结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标