2013-江西卷文-15 填-正方体线面相交

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系，以及正方体的结构特征。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 $\alpha$ 上，且 $AB\parallel CD$，则直线 $EF$ 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正四面体侧棱 $EF$ 与底棱 $CD$ 异面，$EF$ 在过 $CD$ 中垂方向的竖直面内倾斜。
2. $EF$ 与正方体左、右两侧面平行；与上、下底面及前、后侧面各相交。
3. 共 $4$ 个。

✅【答案】

点击查看答案

$4$

✍【详细解析】

Abstract

正四面体 $CDEF$ 的底面 $CD$ 与正方体底棱 $AB$ 同在平面 $\alpha$ 内且 $AB\parallel CD$。 由正四面体的对称性，侧棱 $EF$ 在底面上的射影垂直于 $CD$（从而垂直于 $AB$），且 $EF$ 是斜向上方向的直线。 对正方体的六个面所在的平面逐一判断：

• 正方体的左、右两个侧面所在平面均与 $EF$ 的方向平行（$EF$ 在这两个面内的射影平行于面，直线本身与平面平行，不相交）；
• 上、下底面所在平面：$EF$ 与底面 $\alpha$ 相交（$E$、$F$ 到 $\alpha$ 高度不同），上底面与 $\alpha$ 平行，故 $EF$ 也与上底面所在平面相交；
• 前、后两个侧面所在平面：$EF$ 的射影垂直于它们，必相交。 故与 $EF$ 相交的平面个数 $=6-2=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间直线与平面的位置关系（正方体模型）

核心方法：$AB\parallel CD$ 且 $AB$、$CD$ 同在底面 $\alpha$ 内 → 直线 $EF$（正四面体的侧棱）与正方体左右两侧面平行、与上下底面及前后侧面共 4 个面相交

避坑指南：数”与几个平面相交”先判断平行的面：$EF$ 方向与正方体左右侧面平行（在面内移动不穿过），排除后剩下 4 个面都相交——把”平行”误判成”相交”或漏数上下底面都会错成 2 或 6。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体 + 正四面体共底面模型中的线面位置关系。

结论推广：平行排除法；棱的方向分析。

方法推广：定 $EF$ 方向向量 → 对正方体六个面逐一判平行/相交 → 计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-04 单-线面位置关系
• 2013-安徽卷文-15 填-正方体截面
• 2013-北京卷文-08 单-正方体距离取值