2013-江西卷理-06 单-定积分

本题导读

本题考查定积分，以及定积分的计算。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 若 $S_1={\int }_1^2{x}^{2}dx$，$S_2={\int }_1^2\frac{1}{x}dx$，$S_3={\int }_1^2{e}^{x}dx$，则 $S_1,S_2,S_3$ 的大小关系为()

A. $S_1<S_2<S_3$　　　　　　　　　　　　　　　B. $S_2<S_1<S_3$

C. $S_2<S_3<S_1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $S_3<S_2<S_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $S_1$：利用 $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$，代入上下限。
2. 计算 $S_2$：利用 $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|$，代入上下限。
3. 计算 $S_3$：利用 $\int e^{x}dx=e^x$，代入上下限。
4. 数值比较：
   • 估算 $\ln 2$（约 0.693）。
   • 估算 $\frac{7}{3}$（约 2.333）。
   • 估算 $e^2-e$（利用 $e\approx 2.718$）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算各定积分的具体值。

• $S_1={\int }_1^2{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^2=\frac{1}{3}\times 2^3-\frac{1}{3}\times 1^3=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$。
• $S_2={\int }_1^2\frac{1}{x}dx={\left[\ln x\right]}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2$。
• $S_3={\int }_1^2{e}^{x}dx={\left[e^x\right]}_1^2=e^2-e=e(e-1)$。

第二步：比较数值大小。

1. 比较 $S_1$ 与 $S_2$： $S_1=\frac{7}{3}\approx 2.33$； $S_2=\ln 2<\ln e=1$； 可知 $S_2<S_1$。
2. 比较 $S_1$ 与 $S_3$： $S_3=e(e-1)$，取 $e\approx 2.718$； $S_3\approx 2.718\times 1.718\approx 4.67$； 可知 $S_1=2.33<S_3\approx 4.67$。 或者通过函数图象理解：在 $[1,2]$ 上，$e^x$ 的值域为 $[e,e^2]$，其最小值 $e\approx 2.718$ 大于 $x^2$ 的最大值 $4$ 的逻辑（此处需更严谨：在区间 $[1,2]$ 上，$e^x>x^2$ 恒成立，故积分值 $S_3>S_1$）。

综上所述，$S_2<S_1<S_3$。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：牛顿-莱布尼茨公式 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。 2. 关键常数：熟记 $e\approx 2.718$ 和 $\ln 2\approx 0.693$ 对快速估算非常有帮助。 3. 几何意义：定积分表示曲线与 $x$ 轴围成的面积。在区间 $[1,2]$ 上，由于 $\frac{1}{x}<x^2<e^x$ 恒成立，根据定积分的保…

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定积分的几何应用（求面积、体积）、变上限积分函数。

结论推广：若在区间 $[a,b]$ 上，$f(x)\le g(x)$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$。

方法推广：对于无法直接求出原函数的定积分比较，常采用作差构造函数求导的方法判定被积函数的大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-18 解-正余弦定理面积
• 2013-重庆卷文-18 解-余弦定理与面积最值