2013-浙江卷理-15 填-抛物线定义与简单几何性质

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的定义与简单几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 15. 设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，过点 $P(-1,0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $A,B$，点 $Q$ 为线段 $AB$ 的中点，若 $|FQ|=2$，则直线 $l$ 的斜率等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设直线方程：考虑到直线过 $P(-1,0)$，且可能斜率不存在或为 0，优先设其方程为 $x=my-1$（$m$ 为斜率的倒数），这样可以涵盖除水平线以外的情况。
2. 联立与中点坐标：将直线方程与抛物线方程联立，得到关于 $y$ 的一元二次方程。利用韦达定理求出 $y_A+y_B$，从而得到中点 $Q$ 的纵坐标 $y_0$，再代入直线方程求出横坐标 $x_0$。
3. 建立等式：写出焦点 $F(1,0)$ 的坐标。利用两点间距离公式 $|FQ|=2$ 建立关于参数 $m$ 的方程。
4. 检验约束条件：求出 $m$ 后，必须代入判别式 $\Delta >0$ 检查直线与抛物线是否确实存在两个交点。这是本题的“陷阱”所在。

✅【答案】

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不存在

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定焦点坐标与直线方程 抛物线 $y^2=4x$ 中，$p=2$，故焦点 $F(1,0)$。 设直线 $l$ 的方程为 $x=my-1$。

第二步：联立方程求解中点坐标 联立 $\{\begin{array}{l}x=my-1\\ y^2=4x\end{array}$，消去 $x$ 得： $y^2-4my+4=0$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则由韦达定理得： $y_1+y_2=4m$ 中点 $Q(x_0,y_0)$ 的坐标为： $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=2m$ $x_0=m{y}_0-1=m(2m)-1=2m^2-1$ 即 $Q(2m^2-1,2m)$。

第三步：利用距离公式建立方程 已知 $|FQ|=2$，根据距离公式： $\sqrt{(2m^2-1-1{)}^2+(2m-0{)}^2}=2$ 两边平方：$(2m^2-2{)}^2+4m^2=4$ 展开并整理：$4m^4-8m^2+4+4m^2=4$ $4m^4-4m^2=0⟹4m^2(m^2-1)=0$ 解得 $m=0$ 或 $m=\pm 1$。

第四步：验证判别式 $\Delta$ 直线与抛物线相交必须满足 $\Delta >0$： $\Delta =(4m{)}^2-4\times 4=16m^2-16=16(m^2-1)$

• 若 $m=0$，$\Delta =-16<0$，不成立。
• 若 $m=\pm 1$，$\Delta =0$，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，不符合题意要求交于两点 $A,B$。

综上所述，不存在满足条件的直线 $l$。

故答案为：不存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆锥曲线联立的常规流程；中点坐标公式；两点间距离公式。

核心方法：“存在性判定”。在解析几何填空题中，如果算出的结果非常规（如 0, 1），一定要回过头去检查 $\Delta$、分母不为 0 或几何意义是否成立。

避坑指南：很多考生在求得 $m=\pm 1$ 后直接给出斜率 $k=\pm 1$，却忽略了此时直线与抛物线相切，并不构成“线段 $AB$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的焦半径公式、阿基米德三角形性质。

结论推广：过准线上一点 $P(-p/2,y_p)$ 与抛物线相切的两条切线互相垂直。本题中 $P(-1,0)$ 恰好在准线上，且是准线与对称轴的交点。

方法推广：处理中点弦问题，除了联立方程，还可以使用“点差法”：$y_1^2=4x_1,y_2^2=4x_2⟹(y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2)⟹k\cdot 2y_0=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-05 单-抛物线几何性质
• 2026-新高考II卷-11 多-抛物线几何性质
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线