2013-湖北卷文-04 单-回归正负相关

本题导读

本题考查线性回归方程，以及变量的相关性。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 四名同学根据各自的样本数据研究变量 $x$，$y$ 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ① $y$ 与 $x$ 负相关且 $\hat{y}=2.347x-6.423$； ② $y$ 与 $x$ 负相关且 $\hat{y}=-3.476x+5.648$； ③ $y$ 与 $x$ 正相关且 $\hat{y}=5.437x+8.493$； ④ $y$ 与 $x$ 正相关且 $\hat{y}=-4.326x-4.578$. 其中一定不正确的结论的序号是()

A. ①②　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ③④　　　　　　　D. ①④

🔍【思路分析】

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1. 负相关 ⟺ $b<0$；正相关 ⟺ $b>0$。
2. ①说负相关但 $b=2.347>0$ → 矛盾；④说正相关但 $b=-4.326<0$ → 矛盾。
3. ②③符号自洽（未必正确但可能正确）→ 一定不正确的是①④。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

回归方程 $\hat{y}=bx+a$ 中，$b$ 的符号决定相关方向：$b>0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而增大（正相关）；$b<0$ 时负相关。 ①：说”负相关”，但 $b=2.347>0$，符号矛盾，一定不正确； ②：负相关且 $b=-3.476<0$，自洽； ③：正相关且 $b=5.437>0$，自洽； ④：说”正相关”，但 $b=-4.326<0$，符号矛盾，一定不正确。 （②③只是有可能正确，不能说一定正确。） 故一定不正确的序号是①④。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归直线与正负相关

核心方法：正相关 ⟺ 回归系数 $b>0$；负相关 ⟺ $b<0$。①”负相关”$b=2.347>0$、④”正相关”$b=-4.326<0$ 自相矛盾 → 一定不正确

避坑指南：回归系数 $b$ 的符号就是相关方向的判据——只检查符号矛盾即可，别去算相关系数；②③的符号与结论自洽，但”自洽”不等于”一定正确”（数据未知），故只能选”一定不正确”的①④。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性回归的正负相关判定（符号自洽性，湖北卷选择题）。

结论推广：$b>0$ 正相关、$b<0$ 负相关；符号矛盾即假。

方法推广：逐条检查”相关性说法”与 $b$ 的符号是否一致 → 矛盾者一定不正确。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2014-湖北卷文-06 单-回归分析
• 2014-广东卷文-17 解-统计特征数