2014-湖北卷文-06 单-回归分析

本题导读

散点整体下降定 $b$，回归直线过样本中心定 $a$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 根据如下样本数据： |x|3|4|5|6|7|8 |y|4.0|2.5|−0.5|0.5|−2.0|−3.0 得到的回归方程为 $\hat{y}=bx+a$，则()

A. $a>0$，$b<0$　　　B. $a>0$，$b>0$　　　C. $a<0$，$b<0$　　　D. $a<0$，$b>0$

🔍【思路分析】

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$y$ 随 $x$ 增大总体下降，$b<0$；再由样本中心点定 $a$ 的符号。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

散点随 $x$ 增大而总体下降，故 $b<0$。样本中心 $\bar{x}=\frac{3+4+5+6+7+8}{6}=5.5$，$\bar{y}=\frac{4.0+2.5-0.5+0.5-2.0-3.0}{6}=\frac{1.5}{6}=0.25$。回归直线过 $(5.5,0.25)$，故 $a=\bar{y}-b\bar{x}=0.25-5.5b$，由 $b<0$ 得 $a>0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：回归直线与相关性

2. 核心方法：由散点趋势判斜率、由均值点定截距

3. 避坑指南：回归直线恒过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$：本题 $\bar{x}=5.5$，$\bar{y}\approx 0.25>0$，且 $b<0$，所以 $a=\bar{y}-b\bar{x}>0$；只看 $b<0$ 而忘用样本中心判断 $a$ 的符号会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性回归方程的系数符号判断。

2. 结论推广: 回归直线过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$；$b$ 的符号与散点升降趋势一致，$a=\bar{y}-b\bar{x}$。

3. 方法推广: 最小二乘公式 $b=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}$ 在需要精确计算时使用，判断符号只需趋势与中心点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-04 单-回归分析
• 2015-北京卷文-14 填-散点图