2013-湖北卷文-07 单-向量投影

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的投影。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 已知点 $A(-1,1)$，$B(1,2)$，$C(-2,-1)$，$D(3,4)$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 在 $\overrightarrow{CD}$ 方向上的投影为()

A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　B. $\frac{3\sqrt{15}}{2}$　　　　　C. $-\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　D. $-\frac{3\sqrt{15}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AB}=(2,1)$，$\overrightarrow{CD}=(5,5)$。
2. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=10+5=15$，$|\overrightarrow{CD}|=5\sqrt{2}$。
3. 投影 $=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AB}=(1-(-1),2-1)=(2,1)$，$\overrightarrow{CD}=(3-(-2),4-(-1))=(5,5)$。 数量积： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=2\times 5+1\times 5=15,|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}.$ 由投影定义： $\overrightarrow{AB}在\overrightarrow{CD}方向上的投影=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$ （夹角为锐角，投影为正。） 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量在另一向量方向上的投影

核心方法：$\overrightarrow{AB}=(2,1)$，$\overrightarrow{CD}=(5,5)$，投影 $=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：投影是数量积除以”被投影到”那个向量的模（分母是 $|\overrightarrow{CD}|$，不是 $|\overrightarrow{AB}|$）；投影是数量可正可负，本题 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 同向夹锐角，结果为正——符号弄反就选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的投影（坐标运算，湖北卷选择题）。

结论推广：投影 $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$；坐标求数量积与模。

方法推广：写坐标 → 算数量积与模 → 相除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参
• 2013-广东卷文-10 单-向量分解真假命题