2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度

本题导读

本题考查几何概型，以及绝对值不等式。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 在区间 $[-2,4]$ 上随机地取一个数 $x$，若 $x$ 满足 $|x|⩽m$ 的概率为 $\frac{5}{6}$，则 $m=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 区间长 $6$，概率 $\frac{5}{6}$ → 满足条件长度 $=5$。
2. 若 $m⩽2$：长度 $=2m⩽4<5$，舍。
3. 故 $2⩽m⩽4$：$[-m,m]\cap [-2,4]=[-2,m]$，长 $m+2=5$ → $m=3$。

✅【答案】

点击查看答案

$3$

✍【详细解析】

Abstract

区间 $[-2,4]$ 的长度为 $6$，由几何概型，满足 $|x|⩽m$ 的长度为 $6\times \frac{5}{6}=5.$ 若 $m⩽2$，则 $[-m,m]\subset [-2,4]$ 内的部分长 $2m⩽4<5$，不符； 故 $2⩽m⩽4$，此时 $[-m,m]\cap [-2,4]=[-2,m],长度为m-(-2)=m+2.$ 由 $m+2=5$ 得 $m=3.$ 故答案为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（长度型）与绝对值不等式

核心方法：区间 $[-2,4]$ 长 $6$，$|x|⩽m$ 的概率 $\frac{5}{6}$ → 满足条件的长度 $5$ → $[-2,m]$ 长 $m+2=5$ → $m=3$

避坑指南：$m=3$ 时 $[-3,3]\cap [-2,4]=[-2,3]$——满足条件的区间左端被 $-2$ 截断（$-3<-2$），长度不是 $2m$；先判断 $m$ 相对区间端点的位置再算长度，直接写 $2m=5$ 会得 $2.5$ 且自相矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型（长度型，湖北卷填空题）。

结论推广：概率 = 长度之比；$[-m,m]$ 与给定区间取交。

方法推广：设 $m$ → 写交集长度 → 解方程并检验位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-14 填-几何概型随机数
• 2014-湖南卷文-05 单-几何概型
• 2014-辽宁卷文-06 单-几何概型